P3368 【模板】树状数组 2

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1.将某区间每一个数数加上x

2.求出某一个数的和

输入输出格式

输入格式：

第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。

接下来M行每行包含2或4个整数，表示一个操作，具体如下：

操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k

操作2： 格式：2 x 含义：输出第x个数的值

输出格式：

输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

5 5
1 5 4 2 3
1 2 4 2
2 3
1 1 5 -1
1 3 5 7
2 4

输出样例#1：

6
10

说明

时空限制：1000ms,128M

数据规模：

对于30%的数据：N<=8，M<=10

对于70%的数据：N<=10000，M<=10000

对于100%的数据：N<=500000，M<=500000

样例说明：

故输出结果为6、10

Solution

我们定义$c[i]$表示$a[i]-a[i-1]$就是$a[i]$和$a[i-1]$之间的距离
  而且规定$c[1]=a[1]$
那么很明显
  $a[i-1]+c[i]=a[i]$
我们把c放入树状数组e里面
## 注意e是树状数组!!!

查询

然后我们可以得出
$query(x)=\sum^{i<=x}_{i=1}c[i]$
$        =c[1]+c[2]+...+c[x-1]+c[x]$
$        =(a[1])+(a[2]-a[1])+...+(a[x-1]-a[x-2])+(a[x]-a[x-1])$
$        =a[1]-a[1]+a[2]+...-a[x-2]+a[x-1]-a[x-1]+a[x]$
$        =a[x]$

初始插入

刚开始将$c[i]$(也就是$now-last$)插入树状数组就可以啦

修改

因为给$a[x]+z$后
$a[x]$和$a[x-1]$的距离增加了z ，于是我们要给$a[x]-a[x-1]$(即$c[x]$)加上$z$
因为给$a[y]+z$后
$a[y]$和$a[y+1]$的距离减少了z ，于是我们要给$a[y]-a[y+1]$(即$c[y+1]$)加上$-z$
那中间$x<i<y$不用处理？
当然，因为$c[i]$存的只是$a[i]和a[i-1]$的距离啊！

Codes

 1 program no;
 2 var
 3
 4   n,m,i,now,last,c,x,y,z:Longint;
 5   e:array[1..500000] of Longint;
 6
 7 function lowbit(apple:Longint):Longint ;
 8 begin
 9     lowbit:=apple and -apple;
10 end;
11
12 procedure add(x,a:Longint);
13 begin
14     while x<=n do
15      begin
16         e[x]:=e[x]+a;
17         x:=x+lowbit(x);
18      end;
19 end;
20
21 function query(x:Longint):longint;
22 begin
23     query:=0;
24     while x>0 do
25     begin
26         query:=query+e[x];
27             x:=x-lowbit(x);
28     end;
29 end;
30
31 begin
32    //assign(input,‘1.in‘); assign(output,‘1.out‘);
33    reset(input); rewrite(output);
34
35     readln(n,m);
36     for i:= 1 to n do
37     begin
38      read(now);
39      add(i,now-last);
40      last:=now;
41     end;
42
43     for i:= 1 to m do
44     begin
45         read(c,x);
46         if c=1 then
47           begin
48             readln(y,z);
49             add(x,z);
50             add(y+1,-z);
51           end
52         else writeln(query(x));
53     end;
54
55    close(input);  close(output);
56 end.