一道高一的简单数学题

下面是一道简单的数学题, 我表妹问我, 很惭愧当时连题目是什么意思都看不懂. 记录下吧

S = {1, 2, 3, 4, 5}, 若 a 属于 S, 且 6 - a 也属于 S, 则有多少个这样的 S?

6 - 1 = 5, 6 -2 = 4, 6 - 3 = 3

1, 5 一定要同时在集合里面, 2,4 一定要同时在集合里面, 3 是特别情况.

7 种情况如下:

{1, 5}, {2, 4}, {3}                       3种, 只有一个组合
{1, 5, 3}, {2, 4, 3}, {1, 5, 2, 4}        3种, 2个组合的搭配
{1, 5, 2, 4, 3}                           1种

为什么是这样:

考虑如果集合是其他, 例如 {1, 2, 4}, 那么 当 a = 1, 6 - a = 5,

不在 集合 S中, 显然不成立

如果 {1, 5, 3}, 那么 a = 1, 6 - a = 5, 刚好 5 在 S 中,

如果 a = 5, 6 - a = 1.

如果a = 3, 6 - a = 3, 3 本身就在 S 中.

以此推出上面的 7 个集合都是和上面类似的.

有什么简便方法:

可以把 1, 5 直接看成一个数, 2, 4 直接看成一个数, 3 也是一个数,

由集合 2³ - 1 = 7.

看下面:

(1, 5) ==> A
(2, 4) ==> B
(3)    ==> C

{A}, {B}, {C}                    3种
{A, B}, {A, C}, {B, C}           3种
{A, B, C}                        1种

推广到 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, 若 a 属于 S, 且 8 - a 也属于 S,

则有多个这样的 S.

(1, 7) ==> A
(2, 6) ==> B
(3, 5) ==> C
(4)    ==> D

{A}, {B}, {C}, {D}                                 4种
{A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D}     6种
{A, B, C}, {A, B, D}, {A, C, D}, {B, C, D}         4种
{A, B, C, D}                                       1种