树的定义：树（ t r e e） t 是一个非空的有限元素的集合，其中一个元素为根（ r o o t），余下的元素（如果有的话）组成 t 的子树（ s u b t r e e）。
树中层次最高的元素为根，其下一集的元素是余下元素所构成子树的根。
树的另一常用术语为级（level）。指定树根的级为1。
元素的度（degree of an element)是指其孩子的个数。叶节点的度为0.树的度是其元素度的最大值。
二叉树的定义二叉树（ binary tree） t 是有限个元素的集合（可以为空） 。当二叉树非空时，
其中有一个称为根的元素，余下的元素（如果有的话）被组成 2个二叉树，分别称为 t的左子树
和右子树。
二叉树和树的根本区别是：
• 二叉树可以为空，但树不能为空。
• 二叉树中每个元素都恰好有两棵子树（其中一个或两个可能为空）。而树中每个元素可有
若干子树。
• 在二叉树中每个元素的子树都是有序的，也就是说，可以用左、右子树来区别。而树的
子树间是无序的。
二叉树的特性：
特性1 ：包含n个元素的二叉树边数为n-1
证明 二叉树中每个元素 (除了根节点 ) 有且只有一个父节点。在子节点与父节点间有且只有一
条边，因此边数为n- 1。
特性2：若二叉树的高度为h，h>=0,则该二叉树最少有h个元素，最多有2h-1个元素。
特性3：包含n个元素的二叉树的高度最大为n，最小为log2(n+1) （向上取整）
满二叉树（除叶节点外，每个节点都有左右2个子节点），完全二叉树（除最后一层外，每层都满）
完全二叉树中元素与孩子编号的关系：
特性4：设完全二叉树中一元素的序号为i,1<=i<=n.则有以下关系：
当i=1时，节点为树的根。若i>1,则该元素父节点为i/2(向下取整)
当2*i>n时，该元素无左孩子。否则，其左孩子为2*i。
当2*i+1>n时，无右孩子。否则，右孩子为2*i+1。二叉树的公式化描述：二叉树的公式化描述利用了特性 4。二叉树可以作为缺少了部分元素的完全二叉树。图 8 - 8给出二叉树的两个样例。第一棵二叉树有三个元素 ( A、 B和C )，第二棵二叉树有五个元素 ( A、B、 C、 D和E )。没有涂阴影的圈表示缺少的元素。所有的元素 (包括缺少的元素 )按前面介绍的方法编号。在公式化描述方法中，按照二叉树对元素的编号方法，将二叉树的元素存储在数组中。图8 - 8同时给出了二叉树的公式化描述。缺少的元素由白圈和方格描述。当缺少很多元素时，这种描述方法非常浪费空间。实际上，一个有 n 个元素的二叉树可能最多需要 2n- 1 个空间来存储。当每个节点都是其他节点的右孩子时，存储空间达到最大。图 8 - 9给出这种情况下一棵有四个元素的二叉树，这种类型的二叉树称为右斜 ( r i g h t - s k e w e d )二叉树。当缺少的元素数目比较少时，这种描述方法很有效。
遍历方式：
前序遍历：先左子树，后根节点，后右子树
中序遍历：先根后左最后右
后序遍历：先左后右最后根
层级遍历：按层级遍历
C++代码实现：
类定义：
1 #ifndef BINARYTREEARRAY_H
2 #define BINARYTREEARRAY_H
3 #include <iostream>
4
5 template<class T>
6 class arrayTree
7 {
8 public:
9 arrayTree(T *t, int end) :data(t), Last(end){ }
10 void preOrder(int i);//前序
11 void inOrder(int i);//中序
12 void postOrder(int i);//后序
13 void levelOrder();//层级
14 int getLeftChildPos(int i){ return (2 * i) > Last ? -1 : 2 * i; }
15 int getRightChildPos(int i){ return (2 * i + 1) > Last ? -1 : 2 * i + 1; }
16 private:
17 T* data;
18 int Last;
19 };
20
21 template<class T>
22 void arrayTree<T>::preOrder(int i)
23 {
24 if(Last==0)
25 {
26 std::cout << "empty tree" << std::endl;
27 return;
28 }
29 if(i<=Last)
30 {
31 if (data[i-1] != 0)
32 {
33 std::cout << data[i-1] << " ";
34 }
35 if (getLeftChildPos(i) != -1)
36 preOrder(getLeftChildPos(i));
37 if (getRightChildPos(i) != -1)
38 preOrder(getRightChildPos(i));
39 }
40 }
41
42 template<class T>
43 void arrayTree<T>::inOrder(int i)
44 {
45 if(Last==0)
46 {
47 std::cout << "empty tree" << std::endl;
48 return;
49 }
50 if(i<=Last)
51 {
52 if(data[i-1]!=0)
53 {
54 if (getLeftChildPos(i) != -1)
55 inOrder(getLeftChildPos(i));
56
57 std::cout << data[i - 1] << " ";
58
59 if (getRightChildPos(i) != -1)
60 inOrder(getRightChildPos(i));
61 }
62 }
63 }
64
65 template<class T>
66 void arrayTree<T>::postOrder(int i)
67 {
68 if(Last==0)
69 {
70 std::cout << "empty tree" << std::endl;
71 }
72 if(i<=Last)
73 {
74 if(data[i-1]!=0)
75 {
76 if (getLeftChildPos(i) != -1)
77 postOrder(getLeftChildPos(i));
78 if (getRightChildPos(i) != -1)
79 postOrder(getRightChildPos(i));
80
81 std::cout << data[i - 1] << " ";
82 }
83 }
84 }
85
86 template<class T>
87 void arrayTree<T>::levelOrder()
88 {
89 int level = 1;
90 int i = 1;
91 while (i<=Last)
92 {
93 for (int j = 0; j < (1 << (level-1))&&i<=Last;++j,++i)
94 {
95 if (data[i-1]!=0)
96 {
97 std::cout << data[i - 1] << " ";
98 }
99 }
100 std::cout<<std::endl;
101 level++;
102 }
103 }
104 #endif // !BINARYTREEARRAY_H
测试代码：
1 #include "binaryTreeArray.h"
2
3 int main()
4 {
5 int a[] = { 1, 2, 3, 2, 5, 0, 0, 0, 0, 0,2, 0, 0, 0 };//0表示虚节点
6
7 arrayTree<int> tree(a, 11);
8 tree.preOrder(1);
9 std::cout << std::endl;
10 tree.inOrder(1);
11 std::cout << std::endl;
12 tree.postOrder(1);
13
14 std::cout << std::endl;
15 tree.levelOrder();
16 system("pause");
17
18 return 0;
19 }
输出结果：
