什么是主席树

可持久化数据结构(Persistent data structure)就是利用函数式编程的思想使其支持询问历史版本、同时充分利用它们之间的共同数据来减少时间和空间消耗。

因此可持久化线段树也叫函数式线段树又叫主席树。

可持久化数据结构

在算法执行的过程中，会发现在更新一个动态集合时，需要维护其过去的版本。这样的集合称为是可持久的。

实现持久集合的一种方法时每当该集合被修改时，就将其整个的复制下来，但是这种方法会降低执行速度并占用过多的空间。

考虑一个持久集合S。

如图所示，对集合的每一个版本维护一个单独的根，在修改数据时，只复制树的一部分。

称之为可持久化数据结构。

可持久化线段树

令 T 表示一个结点，它的左儿子是 left(T)，右儿子是 right(T)。

若 T 的范围是 [L,R]，那么 left(T) 的范围是 [L,mid]，right(T) 的范围是 [mid+1,R]。

单点更新

我们要修改一个叶子结点的值，并且不能影响旧版本的结构。

在从根结点递归向下寻找目标结点时，将路径上经过的结点都复制一份。

找到目标结点后，我们新建一个新的叶子结点，使它的值为修改后的版本，并将它的地址返回。

对于一个非叶子结点，它至多只有一个子结点会被修改，那么我们对将要被修改的子结点调用修改函数，那么就得到了它修改后的儿子。

在每一步都向上返回当前结点的地址，使父结点能够接收到修改后的子结点。

在这个过程中，只有对新建的结点的操作，没有对旧版本的数据进行修改。

区间查询

从要查询的版本的根节点开始，像查询普通的线段树那样查询即可。

延迟标记

...

区间第K小值问题

有n个数，多次询问一个区间[L,R]中第k小的值是多少。

查询[1,n]中的第K小值

我们先对数据进行离散化，然后按值域建立线段树，线段树中维护某个值域中的元素个数。

在线段树的每个结点上用cnt记录这一个值域中的元素个数。

那么要寻找第K小值，从根结点开始处理，若左儿子中表示的元素个数大于等于K，那么我们递归的处理左儿子，寻找左儿子中第K小的数；

若左儿子中的元素个数小于K，那么第K小的数在右儿子中，我们寻找右儿子中第K-(左儿子中的元素数)小的数。

查询区间[L,R]中的第K小值

我们按照从1到n的顺序依次将数据插入可持久化的线段树中，将会得到n+1个版本的线段树（包括初始化的版本），将其编号为0~n。

可以发现所有版本的线段树都拥有相同的结构，它们同一个位置上的结点的含义都相同。

考虑第i个版本的线段树的结点P，P中储存的值表示[1,i]这个区间中，P结点的值域中所含的元素个数；

假设我们知道了[1,R]区间中P结点的值域中所含的元素个数，也知道[1,L-1]区间中P结点的值域中所包含的元素个数，显然用第一个个数减去第二个个数，就可以得到[L,R]区间中的元素个数。

因此我们对于一个查询[L,R]，同步考虑两个根root[L-1]与root[R]，用它们同一个位置的结点的差值就表示了区间[L,R]中的元素个数，利用这个性质，从两个根节点，向左右儿子中递归的查找第K小数即可。

POJ 2104 K-th Number (HDU 2665)

注意可持久化数据结构的内存开销非常大，因此要注意尽可能的减少不必要的空间开支。

 1 const int maxn=100001;
 2 struct Node{
 3     int ls,rs;
 4     int cnt;
 5 }tr[maxn*20];
 6 int cur,rt[maxn];
 7 void init(){
 8     cur=0;
 9 }
10 inline void push_up(int o){
11     tr[o].cnt=tr[tr[o].ls].cnt+tr[tr[o].rs].cnt;
12 }
13 int build(int l,int r){
14     int k=cur++;
15     if (l==r) {
16         tr[k].cnt=0;
17         return k;
18     }
19     int mid=(l+r)>>1;
20     tr[k].ls=build(l,mid);
21     tr[k].rs=build(mid+1,r);
22     push_up(k);
23     return k;
24 }
25 int update(int o,int l,int r,int pos,int val){
26     int k=cur++;
27     tr[k]=tr[o];
28     if (l==pos&&r==pos){
29         tr[k].cnt+=val;
30         return k;
31     }
32     int mid=(l+r)>>1;
33     if (pos<=mid) tr[k].ls=update(tr[o].ls,l,mid,pos,val);
34     else tr[k].rs=update(tr[o].rs,mid+1,r,pos,val);
35     push_up(k);
36     return k;
37 }
38 int query(int l,int r,int o,int v,int kth){
39     if (l==r) return l;
40     int mid=(l+r)>>1;
41     int res=tr[tr[v].ls].cnt-tr[tr[o].ls].cnt;
42     if (kth<=res) return query(l,mid,tr[o].ls,tr[v].ls,kth);
43     else return query(mid+1,r,tr[o].rs,tr[v].rs,kth-res);
44 }

主席树

常数优化的技巧

一种在常数上减小内存消耗的方法：

插入值时候先不要一次新建到底，能留住就留住，等到需要访问子节点时候再建下去。

这样理论内存复杂度依然是O(Nlg^2N)，但因为实际上很多结点在查询时候根本没用到，所以内存能少用一些。

动态第K小值

每一棵线段树是维护每一个序列前缀的值在任意区间的个数，如果还是按照静态的来做的话，那么每一次修改都要遍历O(n)棵树，时间就是O(2*M*nlogn)->TLE。

考虑到前缀和，我们通过树状数组来优化，即树状数组套主席树，每个节点都对应一棵主席树，那么修改操作就只要修改logn棵树，O(nlognlogn+Mlognlogn)时间是可以的，但是直接建树要nlogn*logn（10^7）会MLE。

我们发现对于静态的建树我们只要nlogn个节点就可以了，而且对于修改操作，只是修改M次，每次改变俩个值（减去原先的，加上现在的）也就是说如果把所有初值都插入到树状数组里是不值得的，所以我们分两部分来做，所有初值按照静态来建，内存O(nlogn)，而修改部分保存在树状数组中，每次修改logn棵树，每次插入增加logn个节点O(M*logn*logn+nlogn)。

可用主席树解决的问题

POJ 2104 K-th Number

入门题，求区间第K小数。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6 const int maxn=100001;
 7 struct Node{
 8     int ls,rs;
 9     int cnt;
10 }tr[maxn*20];
11 int cur,rt[maxn];
12 void init(){
13     cur=0;
14 }
15 inline void push_up(int o){
16     tr[o].cnt=tr[tr[o].ls].cnt+tr[tr[o].rs].cnt;
17 }
18 int build(int l,int r){
19     int k=cur++;
20     if (l==r) {
21         tr[k].cnt=0;
22         return k;
23     }
24     int mid=(l+r)>>1;
25     tr[k].ls=build(l,mid);
26     tr[k].rs=build(mid+1,r);
27     push_up(k);
28     return k;
29 }
30 int update(int o,int l,int r,int pos,int val){
31     int k=cur++;
32     tr[k]=tr[o];
33     if (l==pos&&r==pos){
34         tr[k].cnt+=val;
35         return k;
36     }
37     int mid=(l+r)>>1;
38     if (pos<=mid) tr[k].ls=update(tr[o].ls,l,mid,pos,val);
39     else tr[k].rs=update(tr[o].rs,mid+1,r,pos,val);
40     push_up(k);
41     return k;
42 }
43 int query(int l,int r,int o,int v,int kth){
44     if (l==r) return l;
45     int mid=(l+r)>>1;
46     int res=tr[tr[v].ls].cnt-tr[tr[o].ls].cnt;
47     if (kth<=res) return query(l,mid,tr[o].ls,tr[v].ls,kth);
48     else return query(mid+1,r,tr[o].rs,tr[v].rs,kth-res);
49 }
50 int b[maxn];
51 int sortb[maxn];
52 int main()
53 {
54     int n,m;
55     int T;
56     //scanf("%d",&T);
57     //while (T--){
58     while (~scanf("%d%d",&n,&m)){
59         init();
60         for (int i=1;i<=n;i++){
61             scanf("%d",&b[i]);
62             sortb[i]=b[i];
63         }
64         sort(sortb+1,sortb+1+n);
65         int cnt=1;
66         for (int i=2;i<=n;i++){
67             if (sortb[i]!=sortb[cnt]){
68                 sortb[++cnt]=sortb[i];
69             }
70         }
71         rt[0]=build(1,cnt);
72         for (int i=1;i<=n;i++){
73             int p=lower_bound(sortb+1,sortb+cnt+1,b[i])-sortb;
74             rt[i]=update(rt[i-1],1,cnt,p,1);
75         }
76         for (int i=0;i<m;i++){
77             int a,b,k;
78             scanf("%d%d%d",&a,&b,&k);
79             int idx=query(1,cnt,rt[a-1],rt[b],k);
80             printf("%d\n",sortb[idx]);
81         }
82     }
83     return 0;
84 }

POJ 2104 K-th Number

SPOJ 3267 D-query

求区间内不重复的数的个数。

扫描数列建立可持久化线段树，第i个数若第一次出现，则在线段树中的位置i加1；若不是第一次出现，将上次出现的位置减1，在本次位置加1。

对于每个询问的区间 [L,R]，在第R个版本上的线段树只有前R个数，在线段树上查询位置L，对经过的区间中的和进行累计即可。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <map>
 6 using namespace std;
 7 const int maxn=100001;
 8 struct Node{
 9     int ls,rs;
10     int cnt;
11 }tr[maxn*20];
12 int cur,rt[maxn];
13 void init(){
14     cur=0;
15 }
16 inline void push_up(int o){
17     tr[o].cnt=tr[tr[o].ls].cnt+tr[tr[o].rs].cnt;
18 }
19 int build(int l,int r){
20     int k=cur++;
21     if (l==r) {
22         tr[k].cnt=0;
23         return k;
24     }
25     int mid=(l+r)>>1;
26     tr[k].ls=build(l,mid);
27     tr[k].rs=build(mid+1,r);
28     push_up(k);
29     return k;
30 }
31 int update(int o,int l,int r,int pos,int val){
32     int k=cur++;
33     tr[k]=tr[o];
34     if (l==pos&&r==pos){
35         tr[k].cnt+=val;
36         return k;
37     }
38     int mid=(l+r)>>1;
39     if (pos<=mid) tr[k].ls=update(tr[o].ls,l,mid,pos,val);
40     else tr[k].rs=update(tr[o].rs,mid+1,r,pos,val);
41     push_up(k);
42     return k;
43 }
44 int query(int l,int r,int o,int pos){
45     if (l==r) return tr[o].cnt;
46     int mid=(l+r)>>1;
47     if (pos<=mid) return tr[tr[o].rs].cnt+query(l,mid,tr[o].ls,pos);
48     else return query(mid+1,r,tr[o].rs,pos);
49 }
50 int b[maxn];
51 map<int,int> mp;
52 int main()
53 {
54     int n,m;
55     //int T;
56     //scanf("%d",&T);
57     //while (T--){
58     while (~scanf("%d",&n)){
59         mp.clear();
60         init();
61         for (int i=1;i<=n;i++){
62             scanf("%d",&b[i]);
63         }
64         rt[0]=build(1,n);
65         for (int i=1;i<=n;i++){
66             if (mp.find(b[i])==mp.end()){
67                 mp[b[i]]=i;
68                 rt[i]=update(rt[i-1],1,n,i,1);
69             }
70             else{
71                 int tmp=update(rt[i-1],1,n,mp[b[i]],-1);
72                 rt[i]=update(tmp,1,n,i,1);
73             }
74             mp[b[i]]=i;
75         }
76         scanf("%d",&m);
77         for (int i=0;i<m;i++){
78             int a,b;
79             scanf("%d%d",&a,&b);
80             int ans=query(1,n,rt[b],a);
81             printf("%d\n",ans);
82         }
83     }
84     return 0;
85 }

SPOJ 3267 D-query

主席树/函数式线段树/可持久化线段树