1006 最长公共子序列Lcs（经典动态规划）

传送门

Description

给出两个字符串A B，求A与B的最长公共子序列（子序列不要求是连续的）。

比如两个串为：

abcicba

abdkscab

ab是两个串的子序列，abc也是，abca也是，其中abca是这两个字符串最长的子序列。

Input

第1行：字符串A
第2行：字符串B
(A,B的长度 <= 1000)

Output

输出最长的子序列，如果有多个，随意输出1个。

Sample Input

abcicba
abdkscab

Sample Output

abca

思路　

记：
Xi=﹤x1，?，xi﹥即X序列的前i个字符 (1≤i≤m)（前缀）

Yj=﹤y1，?，yj﹥即Y序列的前j个字符 (1≤j≤n)（前缀）

假定Z=﹤z1，?，zk﹥∈LCS(X , Y) 。

• 若xm=yn（最后一个字符相同），则不难用反证法证明：该字符必是X与Y的任一最长公共子序列Z（设长度为k）的最后一个字符，即有zk = xm = yn 且显然有Zk-1∈LCS(Xm-1 , Yn-1)即Z的前缀Zk-1是Xm-1与Yn-1的最长公共子序列。此时，问题化归成求Xm-1与Yn-1的LCS（LCS(X , Y)的长度等于LCS(Xm-1 , Yn-1)的长度加1）。
• 若xm≠yn，则亦不难用反证法证明：要么Z∈LCS(Xm-1, Y)，要么Z∈LCS(X , Yn-1)。由于zk≠xm与zk≠yn其中至少有一个必成立，若zk≠xm则有Z∈LCS(Xm-1 , Y)，类似的，若zk≠yn 则有Z∈LCS(X , Yn-1)。此时，问题化归成求Xm-1与Y的LCS及X与Yn-1的LCS。LCS(X , Y)的长度为：max{LCS(Xm-1 , Y)的长度, LCS(X , Yn-1)的长度}。

由于上述当xm≠yn的情况中，求LCS(Xm-1 , Y)的长度与LCS(X , Yn-1)的长度，这两个问题不是相互独立的：两者都需要求LCS(Xm-1，Yn-1)的长度。另外两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS，故问题具有最优子结构性质考虑用动态规划法。

也就是说，解决这个LCS问题，你要求三个方面的东西：

• • 1、LCS(Xm-1，Yn-1)+1；
  • 2、LCS(Xm-1，Y)，LCS(X，Yn-1)；
  • 3、max{ LCS(Xm-1, Y)，LCS(X, Yn-1) }。

最长公共子序列的结构

最长公共子序列的结构有如下表示：

设序列X=< x1, x2, …, xm >和Y=< y1, y2, …, yn >的一个最长公共子序列Z=< z1, z2, …, zk >，则：

• 若xm=yn，则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列；
• 若xm≠yn且zk≠xm ，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列；
• 若xm≠yn且zk≠yn ，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
  其中Xm-1 = < x1, x2, …, xm-1 >，Yn-1 = < y1, y2, …, yn-1 >，Zk-1 = < z1, z2, …, zk-1 >。

我们定义c[i, j]表示X_i和Y_i的LCS的长度。如果i = 0或j = 0，即一个序列长度为0，那么LCS的长度为0.根据LCS问题的最优子结构性质，可得到如下公式：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int maxn = 1005;
int dp[maxn][maxn] = {0};
int main()
{
	char a[maxn],b[maxn],lcs[maxn];
	int i,j;
	scanf("%s",a);scanf("%s",b);
	int lena = strlen(a),lenb = strlen(b);
	for (i = 1;i <= lena;i++)
	{
		for (j = 1;j <= lenb;j++)
		{
			if (a[i-1] == b[j-1])	dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
			else	dp[i][j] = dp[i][j-1]>dp[i-1][j]?dp[i][j-1]:dp[i-1][j];
		}
	}
	i = lena,j = lenb;
	int len = dp[lena][lenb];
	lcs[len] = ‘\0‘;
	while (dp[i][j])
	{
		if (dp[i][j] == dp[i-1][j])	i--;
		else if (dp[i][j] == dp[i][j-1])	j--;
		else lcs[--len] = a[i-1],i--,j--;
	}
	printf("%s\n",lcs);
	return 0;
}