有趣的天平秤假币问题

问题描述：

有12枚硬币，其中有一枚是假币，但是不知道是重还是轻。现给定一架没有砝码的天枰，问至少需要多少次称量才能找到这枚硬币？如何证明给出的方案是最少次数？

思路分析：

我们首先想到的可能是将12枚硬币分成两堆，每堆6枚放到天枰上称量，这样的得到的结果一定是天枰是倾斜的。得不到任何其他信息，反而白白浪费了一次称量机会。因此第一次称量一定是选择一部分去称量，利用均分原理，天枰左边放一部分硬币，右边放一部分硬币，还剩下一部分硬币。从平均情况考虑，三部分中含有假币的概率是相等的。因此，第一次称量中，我们可以将12枚硬币分成3份，每份4枚硬币，记为甲、乙、丙。

取甲、乙放到天枰上称量，一共会出现3种情况：

• 平衡：说明甲乙中都不会含有假币，则假币一定在丙中，记丙中的4枚硬币为A、B、C、D。（依然不能将4枚硬币分成2份！无意义！！）取A、B放到天枰上称量，则又会出现三种不同情况：
  • AB平衡：AB不可能为假币，一定在C、D中。
    • 取C与A量，若平衡，说明D是假币；若不平衡，说明C是假币。
  • A重/B重：A为假或B为假。取甲中任意一枚（真币）与A称量。若平说明B为假币，且假币轻；若依然A重，说明A为假币且假币重；
• 左倾：说明假币在甲或乙中。分别记甲中四枚硬币为ABCD，乙中四枚硬币为EFGH，丙中四枚硬币为IJKL（都是真币）。取ABE和CDI称量，则会出现
  • 若ABE与CDI平衡，则说明他们都是真币。FGH为假币且假币轻。取FG称量：
    • 若平衡，说明H为假币；
    • 否则FG中谁轻谁是假币。
  • 若左倾（即ABE重，CDI轻）。第一次称时，ABCD>EFGH。所以假币在AB中，且假币重；
    • A与I在称量一次，若平则B是假币，若A重，则A是假币。
  • 若右倾（即ABE轻，CDI重）。第一次称时，ABCD>EFGH。所以假币在CD中，且假币重；
    • C与I再称量一次，若平则D是假币，若C重，则C是假币。
• 右倾：（与左倾情况完全对称）

通过上面的分析可知，无论什么情况，3次称量就可以得出哪个是假币。

理论分析：

• 一次天枰称量能够得到左倾、右倾、平衡3种情况，如果把一次称量当做是一次编码，则它是3进制编码才能够表示；
• 我们想要用3进制编码表示的是：12枚硬币，且假币的轻重未知。
  • 每枚硬币都可能是假币，共12种情况，假币有可能比真币轻，也有可能重，共12*2=24种情况；
  • 3ⁿ>=24 则n至少为3才可以。
• 所以从信息论的角度讲，3次称量是最小值。