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一、浅谈单调队列之多重背包
前言：首先标题起了一个很优雅的名字，貌似很高深的样子，其实不然，只是把自己理解的记录一下而已。
多重背包的状态转移方程：dp[ i ] [ j ] = max ( dp[ i - 1 ] [ j ] , dp[ i - 1 ] [ j - k * v[ i ] ] + k * w[ i ] } ( 0 <= k <= num[ i ]) ;
先说一下多重背包的二进制解法，因为大多数的题目都可以用此方法解决：复杂度
( num[ i ] 为每类物品的个数)。
void Multip(int v ,int w ,int n) // v 为体积，w 为价值 ，n 为个数
{
for(int i = 1 ;i <= n ;i <<= 1)
{
V[num] = i*v ;
W[num++] = i*w ;
n -= i ;
}
if(num)
{
V[num] = i*v ;
W[num++] = i*w ;
}
}
单调队列解法：
可以先看下这个博客 ，看几次后你就会理解它的思想了。这里再说一下我的理解。
当你在拿一件物品的时候，如果你细心推一下你会发现只有 j % v 余数相同的时候是有关联的，余数如果不相同是相互独立的( j 指当前要计算的体积，v 指当前物品的体积) 。
这里假设余数为 1 的情况，num = 2 ,体积为 v ,价值为 w .C (总体积) = 8* v
dp 的时候只有这些情况
dp( 1 ) , dp( v + 1 ) , dp( 2 * v + 1 ) , dp( 3 * v + 1 ) , dp( 4 * v + 1 ) , dp( 5 * v + 1 ) , dp( 6 * v + 1 ) , dp( 7 * v + 1 )
那么 : dp( 2 * v + 1 ) = max { dp( 2 * v + 1 ) , dp( v + 1 ) + w , dp( 1 ) + 2 * w }
dp(3 * v + 1) = max { dp( 3 * v + 1 ) , dp( 2 * v + 1 ) + w , dp( v + 1) + 2 * w }
dp(4 * v + 1) = max { dp ( 4 * v + 1 ) , dp( 3 * v + 1 ) + w ,dp( 2 * v + 1) + 2 * w }
dp(5 * v + 1) = max { dp( 5 * v + 1 ) , dp( 4 * v + 1 ) + w , dp( 3 * v + 1 ) + 2 * w }
dp(6* v + 1) = max { dp( 6 * v + 1 ) , dp( 5 * v + 1 ) + w , dp( 4 * v + 1 ) + 2 * w }
dp(7 * v + 1) = max { dp( 7 * v + 1) , dp( 6 * v + 1) + w , dp( 5 * v + 1) + 2 * w }
每项都是有后面两项递推而来，这样还看不出什么规律的话让我们再变化一下：
让第一行减 2 * w , 让第二行减 3 * v ,让第三行减 4 * v ……
得到：
dp( 2 * v + 1 ) = max { dp( 2 * v + 1 ) - 2 * w , dp( v + 1 ) - w , dp( 1 ) } + 2 * w ;
dp(3 * v + 1) = max { dp ( 3 * v + 1 ) - 3 * w , dp ( 2 * v + 1 ) - 2 * w , dp( v + 1 ) - w } + 3 * w ;
dp(4 * v + 1) = max { dp ( 4 * v + 1) - 4 * w , dp(3 * v + 1 ) - 3 * w , dp( 2 * v + 1) - 2 * w } + 4 * w ;
dp(5 * v + 1) = max { dp( 5 * v + 1 ) - 5 * w , dp( 4 * v + 1 ) - 4 * w , dp( 3 * v + 1 ) - 3 * w } + 5 * w ;
dp(6* v + 1) = max { dp( 6 * v + 1 ) - 6 * w , dp( 5 * v + 1 ) - 5 * w , dp( 4 * v + 1) - 4 * w } + 6 * w ;
dp(7 * v + 1) = max{ dp( 7 * v + 1 ) - 7 * w , dp( 6 * v + 1) - 6 * w , dp( 5 * v + 1) - 5 * w } + 7 * w ;
这样变化后明显看出有许多重复的，这样我们可以他们放在一个队列里，然后 每个数只进队列一次。
这样剩下的就是怎样维护队列了：
( 1 ) 删除小于等于当前入队的元素的值。
( 2 ) 删除无效元素，因为如果物品的件数只有 3 件物品，那么，滑动窗口里就只能放 3 个元素，多了的就是无效的元素。
还有一种特殊情况：当 V = W 的时候，只要判断队列中是否有装满的情况就可以了，因为如果某个体积成立，它加上在 k * v 都是可以装满的。这样只要判断当前队列中是否有装满的就可以了。