算法课笔记系列（九）——近似算法（Part1）

这一周的内容是近似算法(Approximation Algorithm)。

对于许多的问题的算法，我们通常目标在于设计一个可以在多项式时间内运行的算法。然而，上一节的NP问题告诉我们这样的算法不一定存在。近似算法其实是针对NP难问题的一种退让，对于许多P不等于NP的最优化问题，无法在多项式时间内找到最优解。因此，如果可以只求一个我们可以接受的解，而不是非要最优解，那么可能存在一个多项式时间的算法。

因此，这里的“近似”其实就是针对最优化问题而言的。其主要应用也是用来解决最优化的问题，并且要求其时间花销为多项式级别的时间。

首先，提出一个NP的优化问题，即NPO问题。

不同的NOP问题的相似程度可能有非常大的差别。

一个NP优化问题P可以用一个四元组（I， Sol， m， goal）来表示，也就是：

I : I是P的实体的集合，可以在多项式时间内被识别；

Sol: 给定一个x∈ I， Sol(x)表示x的可能的解的集合；对于任意的y∈ Sol(x), |y|是|x|的多项式；给定任何|x|的多项式x和y，如果有y∈ Sol(x)，那么这个问题可以在多项式时间内决定。

m: 给定一个实例x∈ I，y∈ Sol(x)， y是x的一个可行解，m(x,y)表示y的值，并且，可以在多项式时间内被解决的函数

Goal ∈ {max, min}。表示这是一个最大化问题还是最小化问题。

下面定义一个NPO类：

类NPO是所有NP优化问题的集合。NPO问题的目标是，对于一个实体x，找到一个最优解，也就是一个可行解y使得m(x,y)=goal{m(x,y’): y’∈ Sol(x)}.

近似算法则是给定一个NP优化问题P=(I,Sol, m, goal)，一个算法A是一个近似算法则对于P，如果给定任意的实例x∈ I，它返回一个近似解，也就是一个有着保障质量的可行解A(x) ∈Sol(x) 。这里的保障的质量是只在近似与启发法之间的差异。

对于一个近似算法，我们关心以下两点：

1. 算法的时间复杂度（必须为多项式级的）

2. 解的近似程度（可能与算法设计、问题规模、输入实例等有关）

为了衡量解的近似程度，提出了近似比。

令P为一个NPO问题，给出一个实例x和x的一个可行解y，我们定义y对于x的一个性能比值为

r-近似的定义为：

给定一个优化问题P和一个P的近似算法A，A被称为一个r近似算法则对于P，如果给定P的任意实例x，近似算法A(x)的性能比界为r，即

下面定义F-APX，给定一类函数F，一个NPO问题P属于类F-APX如果一个r近似多项式时间算法A对于P存在，对于某个函数r∈ F。

一个NPO问题P属于类PTAS如果一个算法A存在使得对于任意有理数ε> 0, 当将A应用到输入(x, ε), 它返回x的一个（1+ε）近似解在|x|的多项式时间内。通俗解释说，任意给定一个ε，这种“模式”都可以在多项式时间内完成，并且可以任意的逼近最优解。但是，随着ε变小，所花的时间可能急剧增多，比如O(n^2/ε)O(n^2/ε)。

这样的“模式”称为多项式时间近似模式（Polynomial-time approximation scheme，简称PTAS）。

FPTAS（Full PTAS）则是，如果一个算法A存在使得对于任意有理数ε> 0, 当将A应用到输入(x, ε), 它返回x的一个（1+ε）近似解在|x|和1/ε的多项式时间内.

如果P不等于NP，那么.