哈夫曼树又称为最优二叉树，哈夫曼树的一个最主要的应用就是哈夫曼编码，本文通过简单的问题举例阐释哈夫曼编码的由来，并用哈夫曼树的方法构造哈夫曼编码，最终解决问题来更好的认识哈夫曼树的应用--哈夫曼编码。

一、引子

在学习中我们经常遇到将各科成绩改为优秀、良好、中等、及格和不及格。那么根据分级原理，代码表示为：

if(a<60)
   b = "不及格“;
else if(a<70)
  b = "及格";
else if(a<80)
  b = "中等";
else if(a<90)
  b = "良好";
else if(a<70)
  b = "优秀";

那么用二叉树表示为：

在实际应用中，5个学生等级的分布规律如表所示

在上面中70分以上的比例是80%，但都需要经过三次比较判断才得出结果，显然不合理。

Huffman提出了想法，加入修改成如图所示

二、Huffman定义和原理

根据上面例子的引出，我们将各个成绩所占比例，当做权重标示在分支上，如图所示

哈夫曼树定义为：给定n个权值作为n个叶子结点，构造出的一棵二叉树带权路径长度达到最小。

1、路径和路径长度

在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或子孙结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。在二叉树a中根节点到结点D路径长度为4，在二叉树b中结点D到根节点路径长度为2.

树的路径长度：树根到每个结点的路径长度之和。二叉树a = 1+1+2+2+3+3+4+4= 20.二叉树B = 1+2+3+3+2+1+2+2 = 16.

2、结点的权及带权路径长度

若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

3、树的带权路径长度

树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和。

树的带权路径长度计算

二叉树a = 5*1+15*2+40*3+30*4+10*4 = 315；

二叉树b = 5*3+15*3+40*2+30*2+10*2 = 220；

如果我们现在用10000个学生需要转换，二叉树a需要31500（别往里是百分数，315/100*10000),二叉树b需要22000次，差不多少了三分之一呢。

   从定义中可以看出哈夫曼树的一个最重要的特点：带权路径长度最短。

huffman树构建

哈夫曼编码步骤：

一、对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。（为方便在计算机上实现算 法，一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。）

二、在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。

三、从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。

四、重复二和三两步，直到集合F中只有一棵二叉树为止。

简易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五个字符，出现的频率（即权值）分别为5,4,3,2,1,那么我们第一步先取两个最小权值作为左右子树构造一个新树，即取1，2构成新树，其结点为1+2=3，如图：

虚线为新生成的结点，第二步再把新生成的权值为3的结点放到剩下的集合中，所以集合变成{5,4,3,3}，再根据第二步，取最小的两个权值构成新树，如图：

再依次建立哈夫曼树，如下图：

其中各个权值替换对应的字符即为下图：

所以各字符对应的编码为：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010

Huffman编码

赫夫曼在研究这种最优二叉树时的主要目的是解决当年远距离通信（主要是电报）的数据传输的最优化问题。比如传输一串字符“BADCADFEED”，采用二进制数据表示，如下表：

编码之后的二进制数据流为“001000011010000011101100100011”，对方接收时同样按照3位一组解码。现在假设这6个字母出现的频率不同，A 27%，B %8，C 15%，D 15%，E 30%，F 5%。下面将27、8、15、15、30、5分别作为A、B、C、D、E、F的权值构造赫夫曼树，如下图：

将右图赫夫曼树的权值左分支改为0，右分支改为1。

现在将这6个字母用从根节点到叶子所经过路径的0或1来编码，得到的编码表如下：

将“BADCADFEED”再次编码得到“1001010010101001000111100”，共25个字符，与之前编码得到的30个字符相比大约节约了17%的存储和传输成本。

在解码时，用同样的赫夫曼树，即发送方和接收方约定好同样的赫夫曼编码规则。当接收方接收到“1001010010101001000111100”时，比对右图中的赫夫曼树。

代码

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

//结点类型
struct element
{
    double weight;    //字符出现的概率为实数
    char ch;
    int lchild, rchild, parent;
};

//在HuffTer中找权值最小的两个结点i1和i2
void Select(element huffTree[], int *a, int *b, int n)
{
    int i;
    double weight = 0;
    for(i = 0; i <n; i++)
    {
        if(huffTree[i].parent != - 1)        //如果有父结点的，不进行判断
            continue;
        else
        {
            if(weight == 0)
            {
                weight = huffTree[i].weight;
                *a = i;
            }
            else
            {
                if(huffTree[i].weight < weight)
                {
                    weight = huffTree[i].weight;
                    *a = i;
                }
            }
        }
    }
    weight = 0;
    for(i = 0; i < n; i++)
    {
        if(huffTree[i].parent != -1 || (i == *a))
            continue;
        else
        {
            if(weight == 0)
            {
                weight = huffTree[i].weight;
                *b = i;
            }
            else
            {
                if(huffTree[i].weight  < weight)
                {
                    weight = huffTree[i].weight;
                    *b = i;
                }
            }
        }
    }
    int temp;
    if(huffTree[*a].lchild < huffTree[*b].lchild)        //避免根结点的左右子树混淆
    {
        temp = *a;
        *a = *b;
        *b = temp;
    }
}

//建立霍夫曼树
void HuffmanTree(element huffTree[], int w[], char ch[], int n)
{
    for(int i = 0; i < 2 * n - 1;i++) //霍夫曼树共有2*n - 1个结点
    {
        huffTree[i].parent = -1;    //双亲结点
        huffTree[i].lchild = -1;    //左孩子结点
        huffTree[i].rchild = -1;    //右孩子结点
    }
    for(int i = 0; i < n; i++)        //构造n棵只含有根结点的二叉树
    {
        huffTree[i].weight = w[i];    //给哈夫曼树赋权值
        huffTree[i].ch = ch[i];        //需要编码的字符
    }
    for(int k = n; k < 2 * n - 1; k++)//n-1次合并
    {
        int i1 = 0;
        int i2 = 0;
        Select(huffTree,&i1,&i2,k);    //在HuffTer中找权值最小的两个结点i1和i2
        huffTree[i1].parent = k;    //将i1和i2合并，则i1和i2的双亲是k
        huffTree[i2].parent = k;
        huffTree[k].weight = huffTree[i1].weight + huffTree[i2].weight;
        huffTree[k].lchild = i1;
        huffTree[k].rchild = i2;
    }
}

//霍夫曼编码
void HuffmanCode(element huffTree[], int n)
{
    int i, j,k;
    string s = "";
    for(i = 0; i < n; i++)    //在数组HuffTree中前n个元素是叶子结点，需要编码
    {
        s = "";            //编码s初始化为空串
        j = i;                    //暂存i，不破坏循环变量
        while(huffTree[j].parent != -1)    //结点j存在双亲
        {
            k = huffTree[j].parent;
            if(j == huffTree[k].lchild)    //结点j是其双亲的左孩子
            {
                s = s + "0";
            }
            else                //结点j是其双亲的右孩子
            {
                s = s + "1";
            }
            j = huffTree[j].parent;    //将结点j的双亲赋给j
        }
        cout<<"字符"<<huffTree[i].ch<<"的编码："<<endl;
        for(int i =s.size() - 1; i >= 0; i--)    //将s作为结点i的编码逆序输出
        {
            cout<<s.at(i)<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
}

int main()
{
    const int n = 6;
    element huffTree[2 * n];
    char ch[] = {‘a‘, ‘b‘, ‘c‘,‘d‘,‘e‘,‘f‘};
    int w[] = {50, 60, 150, 200, 240, 300};
    // 构造霍夫曼树
    HuffmanTree(huffTree,w,ch,n);
    //编码
    HuffmanCode(huffTree,n);
    system("pause");
    return 0;
}