统计学之几何分布、二项分布及泊松分布

作者 白宁超
2015年8月4日13:08:28

摘要:本文针对统计学学习之离散章节，本科针对离散数学以及概率论学习期间，总是一味觉得软件开发与数学有何联系，根本学其无用。然而走进数据分析，大数据处理才发现其重要性。如何计算和利用概率分布，采用概率树不免增加了计算的复杂度，有没有更好的计算方法？本篇我们介绍一些特殊的概率分布，这些概率分布具有固定的形式，我们懂得这些模式善加利用能快速求解概率、期望、方差等问题。本篇文章思路采用单独剖析，整合梳理，公式实现、外加扩展的方式。首先由于实际问题对概念、公式、意义等基本问题进行梳理。然后针对其优缺点和适用环境，循环渐进的分析各种分布的情况。最后对三者分布区别联系进行总结，结果实际案例和当前应用予以结尾。本文原创，转载标明出处。

目录：

• 回顾题引
• 几何分布
• 二项分布
• 泊松分布
• 本章小结
• 内容扩展
• 参考文献

一、回顾题引

问题?

小明滑雪: 每次（独立事件）试滑成功的概率0.2，不成功的概率0.8.则

1、试滑两次成功的概率？
2、试滑一次或两次猜中的概率？
3、试滑10000次，首次成功的概率？
4、试滑第10000次以上成功的概率？

概率树：

解答：

1、概率树求概率

设X最终试滑成功次数，则：
P(X=1)=P(第1次试滑成功)=0.2 【注：试滑一次成功的概率】
P(X=2)=P(第1次试滑失败AND第2试滑成功)=0.2 * 0.8=0.16 【注：试滑两次成功的概率】
P(X<=2)=P(X=1)+P(X=2)=0.36 【注：试滑一次或两次猜中的概率】

2、试滑10000次，首次成功的概率？

$$
P(x=10000)=q^{10000-1}p=0.8^{9999}*0.2
$$

3、试滑第10000次以上成功的概率？

$$
P(x>10000)=q^{10000}p=0.8^{10000}
$$

几何分布

1、概念

什么是几何分布？

【百度百科】几何分布是离散型概率分布。在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。
【课本】如果p代表成功概率，则1-p即q代表失败概率使用以下：

公式叫做概率的几何分布。

2、条件、众数、公式、方差、期望

• 几何分布条件：
  1、进行一系列相互独立的实验。
  2、每一次实验既有成功，又有失败的可能，且单次实验成功概率相等。
  3、为了取得第一次成功需要进行多少次实验。
• 众数：
  任何几何分布的众数都是1，因为r=1时，P(X=1)最大
• 表达式（X符合几何分布，其中成功概率p）：
  X ~ G (p) 或者 X ~ Geo (p)
• 计算公式：(成功概率为p，失败概率为q，试验次数为r)
  1、第r次试验第一次成功： P(X=r)=pq^{r-1}
  2、需要试验r次以上才第一次成功： P(X>r)=q^r
  3、试验r次或者不到r次才第一次成功：P(X<=r)=1-q^r
• 计算方差和期望：
  期望：E(X)=1/p
  期望特点：随着x变大，累计总数和越来越接近一个特定值。
  方差：Var(X)=q/p^2
  方差特点：随着x变大，方差越来越接近特定值

3、优缺点

• 优点：
  简化概率、数学期望、方差的计算
• 缺点：
  试验次数一定，求成功次数。或者成功与失败事件非独立。

4、实例

• 应用科学：数学以及相关领域
• 适用领域范围：自然数学，应用数学，高等数学，概率论
• 射击比赛等

5、核心代码

    /**
 * 在n次伯努利试验中，试验r次才得到第一次成功的机率 P(X=r)=pq^{r-1}
 * @param p double型保留一位小数，表示成功的概率
 * @param q double型保留一位小数，表示失败的概率即1-p
 * @param r 整型，实验次数
 * @return PX double型保留两位小数，第一次成功的机率
 */
public static double FirstSuccess(double p,double q,int r)
{
    double PX=0;
    double k=(double)(r-1);
    PX= p*(Math.pow(q, k));
    return PX;
}

/**
 * 在n次伯努利试验中，需要试验r次以上才第一次成功： P(X>r)=q^r
 * @param q double型保留一位小数，表示失败的概率即1-p
 * @param r 整型，实验次数
 * @return PX double型保留两位小数，需要试验r次以上才第一次成功
 */
public static double MoreSuccess(double q,int r)
{
    double PX=0;
    PX= Math.pow(q, r);
    return PX;
}

/**
 * 在n次伯努利试验中，试验r次或者不到r次才第一次成功：P(X<=r)=1-q^r
 * @param q double型保留一位小数，表示失败的概率即1-p
 * @param r 整型，实验次数
 * @return MorePX double型保留两位小数，需要试验r次以上才第一次成功
 */
public static double LessSuccess(double q,int r)
{
    double MorePX=0;
    MorePX= Math.pow(q, r);
    double PX=Double.valueOf(1.0-MorePX);
    return PX;
}

    /**
 * 在n次伯努利试验中，几何分布的期望E(X)=1/p
 * @param p double型保留一位小数，表示成功的概率
 * @return EX double型保留两位小数，几何分布的期望
 */
public static double Expectation(double p)
{
    double EX=0;
    EX= 1.0/p;
    return EX;
}

/**
 * 在n次伯努利试验中，几何分布的方差Var(X)=q/p^2
 * @param p double型保留一位小数，表示成功的概率
 * @param q double型保留一位小数，表示失败的概率即1-p
 * @return VX double型保留两位小数，几何分布的方差
 */
public static double Variance(double p,double q)
{
    double VX=0;
    VX= q/Math.pow(p, 2);
    return VX;
}

二项分布

1、概念

什么是二项分布？
【百度百科】二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变。

【课本】在相互独立事件中，每道题答对概率为p，答错概率为q。在n个问题中答对r个问题的概率为：
这类问题称之为二项分布。
【统计学定义二项分布】
在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n = 1时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。

2、条件、表达式、两点分布、公式、方差、期望

• 条件：
  1．正在进行一系列独立试验；
  2．每次试验都存在失败和成功的可能，每一次试验的成功概率相同;
  3．试验次数有限。
• 表达式（试验次数n，成功概率p）：
  ξ~B(n,p)
• 两点分布：
  当n=1时，记住 X ~ B (1，p) 即两点分布。
• 二项分布形状特点：
  P<0.5时图形向右偏移；当p>0.5时，图形向左偏移。
  
• 计算概率公式：
  其中
• 期望：E(X)=np
• 方差: Var(X)=npq（其中q=1-p）

3、优缺点

优点：在试验次数一定，求成功次数时，几何分布显示不适合的情况下，给予这类问题二项分布能更好的解决。
缺点：但是面对试验次数不固定，发生事件概率的情况下，显然几何分布与二项分布都不能解决，这里也体现出泊松分布的优势

4、实例

• 某地某一时期内出生35名婴儿，其中女性19名（定Sex=0），男性16名（定Sex=1）。问这个地方出生婴儿的性别比例与通常的 男女性比例（总体概率约为0.5）是否不同？数据如表10-2所示。35名婴儿的性别的二项式检验?（参见SPSS演示）
• n次试验在相同条件下进行，各个观察单位的结果独立，且只能具有相互对立的一种结果，二项分布常用于医学领域。

5、核心代码实现

    /**
 * 在n次伯努利试验中，在n次独立的伯努利试验发生r次的概率为
 * P(X=r)=n-C_r*p^{r}*q^{n-r}且n-C_r=n!/r!*(n-r)!
 * @param n int，表示总的独立事件
 * @param r int，表示发生r次
 * @param p double型保留一位小数，表示成功的概率
 * @param q double型保留一位小数，表示失败的概率即1-p
 * @return PX double型保留两位小数，第一次成功的机率
 */
public static double RSucess(int n,int r,double p,double q)
{
    double PX=0;
    double k=(double)(n-r);
    int kk=n-r;
    //ncr即n-C_r=n!/r!*(n-r)!
    double ncr=NumFormat.factorial(n)/(NumFormat.factorial(r)*NumFormat.factorial(kk));
    PX=ncr*(Math.pow(p, r))*(Math.pow(q, k));
    return PX;
}

/**
 * 在n次伯努利试验中，二项分布的期望E(X)=np
 * @param n int型，表示试验的次数
 * @param p double型保留一位小数，表示成功的概率
 * @return EX double型保留两位小数，几何分布的期望
 */
public static double Expectation(int n,double p)
{
    double EX=0;
    EX= Double.valueOf(n)*p;
    return EX;
}

/**
 * 在n次伯努利试验中，二项分布的方差Var(X)=npq
 * @param n int型，表示试验的次数
 * @param p double型保留一位小数，表示成功的概率
 * @param q double型保留一位小数，表示失败的概率即1-p
 * @return VX double型保留两位小数，二项分布的方差
 */
public static double Variance(int n,double p,double q)
{
    double VX=0;
    VX= Double.valueOf(n)*p*q;
    return VX;
}

泊松分布

1、概念

【课本】单独事件在给定区间随机独立发生，已知事件平均发生数且有限次数，通过以下计算： $$ P(X=r) = {e^{-λ}λ^r\over r!} $$这样的一类事件叫做泊松分布。
特点
1、不需要一系列试验，描述事件特定区间发生次数。
2、两个独立的泊松分布相加也符合泊松分布。（即n>50且p<0.1时或np近似等于npq时）
3、特定条件下可以用来近似代替二项分布。

2、条件、表达式、特点、公式、众数、方差、期望

• 条件：
  1、单独事件在给定区间内随机独立的发生，给定区别可以是时间或者空间。（一周、一英里）
  2、已知该区间内的事件平均发生次数（发生率），且为有限数值。该事件平均发生次数用λ表示。
• 表达式（区间内平均发生次数为λ）：
  
• 泊松分布形状特点：λ小时，分布向右偏斜；当λ大时，分布逐渐对称。
  
• 计算概率（e常数2.718，平均发生次数为λ，区间内r次事件）：
  $$ P(X=r) = {e^{-λ}λ^r\over r!} $$
• 众数：
  λ是一个整数，则有两个众数λ和λ-1，如不是整数，众数λ。
• 期望： E(X)=λ
• 方差： Var(X)=λ
• 独立随机变量进行组合：
  
• 泊松分布与二项分布有何关系？
  当二项分布X~B(n,p)的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧10,p≦0.1，np<=5时，就可以用泊松公式近似得计算，X可以近似表示X~Po（np）。

问题：为什么n要足够大，p要足够小？

因为在分时间窗口的时候有个假设：每个时间窗口最多只有一个乘客到达。(时间区间乘客问题)

3、优缺点

不需要一系列试验，描述事件特定区间发生次数，特别适用。另外一定条件下替换二项分布带来简便的运算。

4、实例

• 应用学科：概率论
• 某一服务设施在一定时间内到达人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的侯客人数，机器出现的故障次数，自然灾害发生次数，一块产品的缺陷，显微镜下单位分区内的细菌分布数等。
• 在交通工程的应用、非典流行与传播服从泊松分布
• 自然现象普遍存在泊松分布现象，主要指大量重复实验中稀有事件发生的次数。

5、核心代码实现

    /**
 * 泊松分布的概率P(X=r) = {e^{-λ}λ^r\over r!（e常数2.718，平均发生次数为λ，区间内r次事件）
 * @param e常数2.718
 * @param λ 整型，平均发生次数
 * @param r 整型，区间内r次事件
 * @return PX double型保留两位小数，泊松分布的概率
 */
public static double BosongSuccess(int λ,int r)
{
    double PX=0;
    double e=2.718;
    PX= Math.pow(e, -Double.valueOf(λ))*Math.pow(λ, r)/NumFormat.factorial(r);
    return PX;
}

/**
 * 泊松分布的期望E(X)=λ
 * @param λ double型保留两位小数，表示平均发生次数为λ
 * @return VX double型保留两位小数，泊松分布的期望
 */
public static double Expectation(double λ)
{
    double EX=0;
    EX= λ;
    return EX;
}

/**
 * 泊松分布的方差Var(X)=λ
 * @param λ double型保留两位小数，表示平均发生次数为λ
 * @return VX double型保留两位小数，泊松分布的方差
 */
public static double Variance(double λ)
{
    double VX=0;
    VX= λ;
    return VX;
}

二、本章小结

几何分布

应用条件：
进行一系列独立试验，每次试验成功或失败且每次成功概率相同。目的：取第一次成功需要进行多少次试验。
表达式（X符合几何分布，其中成功概率p）：
X ~ Geo (p)
几何分布概率算式成立：
1、第r次试验第一次成功： P(X=r)=pq^{r-1}
2、需要试验r次以上才第一次成功： P(X>r)=q^r
3、试验r次或者不到r次才第一次成功：P(X<=r)=1-q^r
期望方差：
E(X)=1/p 和 Var(X)=q/p^2

二项分布

应用条件：
进行一系列次数有限的独立试验，每次试验成功或失败且每次成功概率相同。目的：第N次试验中成功多少次。
表达式（X符合二项分布，n是试验次数，其中成功概率p）：
X ~ B (n，p)
两点分布：
当n=1时，记住 X ~ B (1，p) 即两点分布。
二项分布概率算式成立：
其中
期望方差：
E(X)=np 和 Var(X)=npq

泊松分布

应用条件：
单事件在给定区间内随机、独立的发生，已知给定区间事件平均发生次数且有限。目的：给定区间内事件发生次数。
表达式（X符合泊松分布，其中成功概率p）：
X ~ Po(λ)
泊松分布概率算式成立：

$$ P(X=r) = {e^{-λ}λ^r\over r!} $$
期望方差：E(X)=λ 和 Var(X)=λ
如果X~Po(λx),Y~Po(λy)且X和Y是独立的，则X+Y~Po（λ_x+λ_y）
如果X~B(n，p)的n很大而p很小时，X可以近似表示X~Po（np）。

泊松分布与二项分布、正态分布的关系

• 泊松分布代替二项分布
  当n很大且p很小时，可以用X~Po(np)近似代替X~B(n,p).(n>50且p<0.1)或者(q近似1且n很大，np近似等于npq)
• 正态分布代替泊松分布
  如果X~Po(λ)且λ>15,则可用X~N(λλ)进行近似
• 正态分布代替二项分布
  二项分布X~B(n,p)，当np>5且nq>5时,正态分布代替二项分布.(必须进行连续性修订)
  修订
  小于等于:P(X<=a)连续标度a+0.5即P(X<a+0.5)
  大于等于:P(X>=b)连续标度a-0.5即P(X>b-0.5)
  介于:P(a<=X<=b)连续标度即P(a-0.5<=X<=b+0.5)

总结:小加大减

三、内容扩展

• 伯努利试验：进行一系列的重复独立试验，每个试验的结果只有二个，一个结果出现的概率总是p，另一个结果总是q,称为贝努利试验。
• n重伯努利试验：伯努利试验在相同条件下独立重复进行n次。
• 两点分布：随机变量X只可能是0或1，其中0<p<1，则称X服从参数为p的两点分布记住X~B(1,p)。
• 分布分类
  连续型随机分布：正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布
  离散型随机分布:二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
  三大抽样分布：卡方分布、F分布、t分布

四、参考文献

1、几何分布随机函数
2、matlab生成随机数函数
3、概率论05 离散分布
4、SPSS中八类常用非参数检验之二：二项分布（Binomial）检验
5、指数分布与泊松分布的随机值的产生程序原理解析
6、几种常见的分布
7、深入浅出统计学