论文学习-Euclidean Distance Matrices-theory,algorithms,applications(1)

翻译自Euclidean Distance Matrices: Essential theory, algorithms, and applications

EDMs是点之间的平均距离矩阵。该文的目标是介绍EMD在信号处理领域的应用,展示EDM如何被用来设计算法--对距离数据进行修复和去噪。同时,介绍了其在麦克风的位置校准(microphone position calibration)、超声波断层扫描(ultrosound tomography)、room reconstruction from echoes以及相位恢复的应用。

引言

假设你有一份瑞士火车时刻表但是没有其地图,但是这足够去重建一份阿尔卑斯的粗略的地图,即便火车时间不能体现距离甚至部分时间点是不知道的。

我们经常处理距离数据因为它们是容易测量和评估的。比如说,在无线传感器网络,传感器节点可以测量由其它节点传送过来的信号包的强度或由它们的邻节点发送的脉冲到达时间(TOA),这属于自我定位(self-localization)。

有时候数据不是矩阵的,但是我们可以像心理测验学一样寻找一个矩阵表示。实际上,心理测验学是很多跟EDM有关的方法形成的起源,包括多维标度分析(MDS)--用多维空间中的点表示不同刺激物之间的感知或心理测量关系(百度)。

EDM是对点集的一个有用的描述和算法设计的好起点。一个经典的任务就是恢复原始点设置:它仅仅需要对一个对称矩阵进行特征值分解(EVD)。事实上,大部分欧几里德距离问题重建点集伴随着以下问题:

1)距离数据有噪声

2)一些距离数据缺失

3)距离无法识别(unlabelled)

距离几何有两个基本问题:一是给定一个矩阵,判断它是否是EDM;二是给定一些不完整的距离数据,在已知嵌入维数下--形成点的最小仿射空间的维度--判断是否存在一种点配置(configuration of points)

FroM PoIntS to EdMs And BAcK

X为d*n矩阵,

xi和xj之间的平均距离为,并定义

||.||表示欧几里德范数,即

1表示n*1的列向量,即[1 1 1...1 ]的转置,1的转置即1*n的行向量;edm(X)实际就是

类似地,令 ,则

公式3和4揭示了一个重要的属性:X的秩最多为d,的秩也最多为d,公式3的另外两个加数秩为1,由此可得:一个EDM的秩最多为d+2 (T1)

这个定理说明EDM的秩和其点的数目无关,在许多应用中,d是3或者更少然而n可以是上千。根据定理1,这样的矩阵秩最多为5。定理1中最重要的是点集的仿射维数。任何仿射子空间都是一个线性子空间的转变,即重要的唯一性(essential uniqueness)。如下图所示,从一个仿射子空间的所有点中取出任意一点可唯一地描述一个包含零向量的平行线性子空间。

ESSENTIAL UNIQUENESS
当处理一个逆问题时(inverse problem),我们需要明白哪些是可重获的哪些是已丢失的。重建点配置通常会增加其规模(size),成对距离的数量远比坐标描述的规模大,即。很明显刚性变换不改变固定点的距离,就像我们从公式3和4中得知的:edm(X)=,故用代数方法(翻转、反射)不会改变距离。因此对于旋转点集(Q为d*d的正交矩阵,即):

通过d*1的列向量b得到平移矩阵

因此

这说明我们无法只通过距离数据得到点的具体位置,不同的重建步骤会得到不同的点配置,如下图所示:

RECONSTRUCTION THE POINT SET FROM DISTANCE
公式3给了我们一种从距离矩阵中计算点配置的方法。

假设点x1是原点,D的第一列包含了点向量的平方范数,d1是D的第一列,即

由于的对角线元素恰好是,则

由于G是对称半正定矩阵(PSD),,其中

所以即为重建点配置,

于是,我们有定理2:当且仅当对任何满足条件的s

是一个PSD时,D是一个EDM。

很容易得知,s=e1。平移点集使得x1被平移到原点,通过对edm(x)左乘矩阵右乘矩阵,我们将最终得到,重建点配置将在原点有第一个点(have the first point at the origin)。

另一方面,s=(1/n)1时,坐标系的原点将是点集的质心,因此矩阵被称为几何中心矩阵

为说明这一点,我们定义X的质心为所有点集的平均值

然后从点集中减去这一向量,即

 

时间: 2024-10-18 10:59:37

论文学习-Euclidean Distance Matrices-theory,algorithms,applications(1)的相关文章

论文学习-Euclidean Distance Matrices-theory,algorithms,applications(2)

接上篇 ORTHOGONAL PROCRUSTES PROBLEM  普式分析(Procrustes analysis)  纠结了好久,还是没能完全看懂.. 奇异值分解(singular value decomposition):,其中. 弗罗贝尼乌斯范数(Frobenius norm): COUNTING THE DEGREES OF FREEDOM EDMs AS A PRACTICAL TOOL 我们很少有完美的EDM,使用接收功率或TOA来测量距离很容易有噪声.抽样误差和模型失配等问题.

手势跟踪论文学习:Realtime and Robust Hand Tracking from Depth

本文介绍的方法主要是用到了深度信息.提出了一种新的手指检测以及手型初始化的方法.具有很好的鲁棒性.在不使用GPU的情况下,速度就可以达到25FPS.准确率还相当的高.可以说是现在手势识别中最好的方法了. 当前的很多方法要不就是很慢,要不就是使用了GPU,再或者就是需要非常复杂的初始化.而本文提出的方法重新定义了手势的模型,结合了现在通用的两种方法的优势,并且加上一个约束方程,得到了很好的效果. 1.模型的重新定义 每一只手,定义了一个自由度(DOF)为26 的手的模型,其中的6个自由度代表全局的

Graph Theory Algorithms

1 /** 2 * 图论 3 **/ 4 5 /***************************** 图的抽象数据类型 ************************************/ 6 ADT Graph 7 { 8 数据: 9 Graph = (Vertex, Edge)是可以用不同方式存储的图,Vertex是顶点集, 10 Edge = {<vertex_1, vertex_2> | vertex_1, vertex_2属于Vertex,vertex_1不等于verte

【 论文学习记录】A flexible and scalable slam system with full 3d motion estimation 一种灵活可扩展带有3D运动估计的slam系统

A flexible and scalable slam system with full 3d motion estimation   论文学习记录 这篇论文系统框架,栅格多阈值,更新同步与伪数据,扫描匹配起始点,协方差交叉融合的思想还是值得借鉴的. 摘要 关注于搜救机器人建图定位与导航的框架性文章. 低计算资源的在线快速获取栅格地图: 结合鲁棒的激光扫描匹配方法和惯性传感器姿态估计系统. 快速地图梯度近似与多分辨率(类似图像金字塔)栅格地图,精确而不需要闭环检测. 介绍 2D slam 子系

A Review on Generative Adversarial Networks: Algorithms, Theory, and Applications

1 Inttroduction GANs由两个模型组成:生成器和鉴别器.生成器试图捕获真实示例的分布,以便生成新的数据样本.鉴别器通常是一个二值分类器,尽可能准确地将生成样本与真实样本区分开来.GANs的优化问题是一个极大极小优化问题.优化终止于相对于生成器的最小值和相对于鉴别器的最大值的鞍点. 2.1 Generative algorithms 生成算法可分为两类:显式密度模型和隐式密度模型. 2.1,1 Explicit density model 显式密度模型假设分布,利用真实数据训练包含

cvpr 2016 论文学习 Video object segmentation

Abstract— Video object segmentation, a binary labelling problem is vital in various applications including object tracking, action recognition, video summarization, video editing, object based encoding and video retrieval(检索). This paper presents an

手势跟踪论文学习:Realtime and Robust Hand Tracking from Depth(三)Cost Function

iker原创.转载请标明出处:http://blog.csdn.net/ikerpeng/article/details/39050619 Realtime and Robust Hand Tracking from Depth中的Cost Function 学习 首先,我们应该知道,输入的数据是什么:3D 点云数据. 3D点云给我的感觉应该是这种 输出的是:拟合好的手模型(48球体模型). 而这里的的3D 点云数据用p表示,每个球体用Sx 表示. Ci 第i个球体的中心:D表示深度图( 区分还

Word2vec Parameter Learning Explained 论文学习笔记

原始论文:http://www-personal.umich.edu/~ronxin/pdf/w2vexp.pdf 之前学习Word2vec时,脱离了神经网络,这周补充了下相关知识,打算之后再 看下源码,加深自己的理解.

GoogleNet:inceptionV3论文学习

Rethinking the Inception Architecture for Computer Vision 论文地址:https://arxiv.org/abs/1512.00567 Abstract 介绍了卷积网络在计算机视觉任务中state-of-the-art.分析现在现状,本文通过适当增加计算条件下,通过suitably factorized convolutions 和 aggressive regularization来扩大网络.并说明了取得的成果. 1. Introduct