运算符(+、-、*、/)
最近在LeetCode 上刷题，遇到一个非常有趣的题目，题目的大概意思就是在不使用运算符的情况下实现两个数的加法。。。原题点这里》》》
说实话，刚看到这题目，我是一脸懵逼的。
后来仔细想想，如果不能用运算符，那肯定是用原始方法了（位运算）。
后来，的确也证明我的想法是正确的。不过还是有种思路没想到，是参考了网上的。
在这里，我就来说说我所知道的两个方案。方法low，大牛可以点击右上角的×了。。。
注：以下讨论均基于整数之间的四则运算！部分来自网络~
【加法】
方案一（推荐）：
此方法参照计算机的二进制计算
分两步：
一：先进行没有进位的加法运算。可用 a^b;
二：处理进位信息。a&b 可得到进位的位置信息，然后左移一位，就是两数相加后的进位信息了。所以可以用 (a & b) << 1;
然后就是把前面得到的没有进位的和加上进位信息了，直到进位为0为止。因此代码可以这么写：
public static int GetSum(int a, int b)
{
if (b == 0)
{
return a;
}
int sum = a ^ b;
int carry = (a & b) << 1;
int result = GetSum(sum, carry);
return result;
}
方案二：
此方案在C#中不常使用。将利用指针的偏移来进行加法运算。
先上代码：
unsafe public static int GetSum_Point(int a, int b)
{
unsafe
{
byte* c = (byte*)a;
int d = (int)&c[b];
return d;
}
}
此处附上C#在VS2015中使用指针的方法（传送门）
例如a=5,b=10
c=(byte*) a,此时c的地址为0x00000005
c[b] 就是c的地址偏移sizeof(byte)*b
最终得到了c[b]的地址就是0x0000000f，即通过int强制转换得到15 。
【减法】
按理来说，只要加法解决了，后面的运算都是小菜一碟了。本着思考的态度，我们还是要想想怎么用位运算来实现减法。
总的来说还是有两个方案实现的，以下依次来说说。
方案一：
原理其实也是参考计算机计算减法的操作。
这里需要用到一个叫“补码”的东西，不懂的同学点这里》》》
我们都知道两个数的减法可以当作一个正数和一个负数的加法。照这个思路，我们可以这么写：
public static int GetMargin(int a, int b)
{
return GetSum(a, GetSum(~b, 1));
}
方案二：
此方案和【加法】中的方案一类似。都是二进制的计算
我们分以下几步来看：（以a - b为例）
1.如果b 的值为0，那么结果显而易见就是a 了。
2.b 不为0 的情况下，我们仍然先不考虑借位，先将被减数和减数同为1 的位置去掉。
第一步，找出减数和被减数同为1 的位置。可使用 sameNum = a&b; 来实现；
第二步，分别将被减数和减数同为1 的位置去掉1 ，这里可以用 a ^= sameNum; b ^= sameNum;
3.此时，减数和被减数相同位只存在以下三种情况：
-
- 被减数：0 ；减数： 0；差：0；
- 被减数：0 ；减数： 1；差：1；
- 被减数：1 ；减数： 0；差：1；
4.通过对被减数、减数和差的分析，很容易就能知道差值应该是被减数和减数的按位或的结果。于是我们便有：a | b 得到临时的结果;
5.此时再考虑借位问题。很明显只有在减数为1的情况下，被减数与之对应的左一位才会出现借位，于是借位便可以用 b << 1 ; 来表示。
6.再把临时结果减去借位，直到借位为0 ，得到的结果便是最终的结果了。综上，代码如下：
public static int GetMargin(int a, int b)
{
while (b != 0)
{
// 去掉被减数和减数中同为1的位
int sameNum = a & b;
a ^= sameNum;
b ^= sameNum;
// 此时，a 和 b 不存在同时为1 的位
// 0 - 1 和 1 - 0 都为1
a |= b; // 得到相减的临时结果（不考虑借位）
b = b << 1; // 减数为1 时，必有借位
}
return a;
}
【乘法】
1.先考虑正整数之间的乘法运算。
在二进制中，每向左移动一次，都相当于原始数乘以2。而每个数据都可以写成k0×20+k1×21+...+km×2m的形式。因此我们可以得到以下式子：
a x b = ax20xk0 + ax21xk1 + .... + ax2mxkm 其中ki = {0, 1};
因此我们可以很容易写出以下代码：
public static int GetProduct(int a, int b)
{
// 1.先只考虑正整数的相乘
int result = 0;
for (int bits = 1; bits != 0; bits <<= 1)
{
if ((bits & b) != 0)
{
result = GetSum(result, a);
}
a <<= 1;
}
return result;
}
2.接下来，开始考虑正负号的情况（考虑溢出的情况）。
这里有个简单的办法，直接判断a、b和0 的关系来判断正负。本着学习的态度（耳熟??），我们不使用这种方法。
我们都知道，在计算机中数据都是以补码的数据存储的，其中正数和负数的区别便是最高位是否为1；（负数的补码最高位为1）
于是，我们便可以引入一个辅助函数，来帮助判断。
public static int maxNumFlag()
{
int bitsOfByte = 8;
int maxNum = 0x80;
int tmp = maxNum;
while (tmp != 0)
{
maxNum = tmp;
tmp <<= bitsOfByte;
}
return maxNum;
}
完善后的代码如下所示：
public static int GetProduct(int a, int b)
{
// 1.先只考虑正整数的相乘
// 2.考虑正负情况和溢出问题
int maxNum = maxNumFlag();
int flag_a = 1;
if ((maxNum & a) != 0)
{
flag_a = 0; // 负数
a = GetSum(~a, 1);
}
int flag_b = 1;
if ((maxNum & b) != 0)
{
flag_b = 0;
b = GetSum(~b, 1);
}
int result = 0;
for (int bits = 1; bits != 0; bits <<= 1)
{
if ((bits & b) != 0)
{
result = GetSum(result, a);
if ((result & maxNum) != 0
|| (a & maxNum) != 0)
{
throw new Exception("数据过大！");
}
}
a <<= 1;
}
return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? result : GetSum(~result, 1);
}
【除法】
看到除法，就想起了减法运算，然后想到一个比较简单的思路和实现方法。后来发现网上还有一种方法，思路相同又不同。贴上来，大家看看~
方案一：
除法没有溢出，但是有其他的限定条件，比如除数不能为“0”。
这里先说下除法和减法之间的关系。以97÷23=4（余5）为例：
也就是 97-23×4=5
：=》97-23-23-23-23=5.
于是，有以下代码：
public static int GetQuotient(int a, int b)
{
/*方法一*/
if (b == 0)
{
throw new Exception("除数不能为0！！");
}
int maxNum = maxNumFlag();
int flag_a = 1;
if ((maxNum & a) != 0)
{
flag_a = 0; // 负数
a = GetSum(~a, 1);
}
int flag_b = 1;
if ((maxNum & b) != 0)
{
flag_b = 0;
b = GetSum(~b, 1);
}
int index = 1;
int tmp = GetMargin(a, b);
if (tmp < 0)
{
return 0;
}
while (tmp >= b)
{
tmp = GetMargin(tmp, b); // 最后一次循环后的tmp 便是a/b 的余数
index = GetSum(index, 1);
}
return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? index : GetSum(~index, 1);
}
方案二：
方案二的大体思路如下：
- 预备工作：置商为0；
- 判断“被除数>=除数 ”是否成立：
成立，继续步骤3；
不成立，被除数的值赋给余数，计算结束。 - 备份除数，并设置商分子（一个临时变量，最终需加到商上面，故暂且如此命名）为1；
对商分子和除数同步向左移位，直到继续移位将大于被除数时为止； - 从被除数上减去除数，并将商加上商分子。
- 通过备份的除数值还原除数，跳转到步骤2继续执行。
个人还是觉得这样比较难理解，但是因为我们这讨论的是位运算，所以还是贴出来，研究研究。
直接上代码：
public static int GetQuotient(int a, int b)
{
/*方法二*/
if (b == 0)
{
throw new Exception("除数不能为0！！");
}
int maxNum = maxNumFlag();
int flag_a = 1;
if ((maxNum & a) != 0)
{
flag_a = 0; // 负数
a = GetSum(~a, 1);
}
int flag_b = 1;
if ((maxNum & b) != 0)
{
flag_b = 0;
b = GetSum(~b, 1);
}
int quotient = 0;
int backupB = b;
while (a >= b)
{
int tempB = b << 1;
int tempQ = 1;
while ((tempB <= a) && ((tempB & maxNumFlag()) == 0))
{
b = tempB;
tempQ <<= 1;
tempB <<= 1;
}
a = GetMargin(a, b);
quotient |= tempQ;
b = backupB;
}
if (((maxNum & a) != 0) && (a != 0))
{
quotient = GetSum(quotient, 1);
}
return (flag_a ^ flag_b) == 0 ? quotient : GetSum(~quotient, 1);
}