一，概述
二十四点是一种益智游戏，它能在游戏中锻炼人们的心算，它往往要求人们将四个数字进行加减乘除（允许使用括号）求得二十四。然后将四个数字的计算公式表示出来。
二，中缀表达式求解
最直接的方法就是采用穷举法，游戏中可用的运算符只有四种，四个数字每个只能使用一次。
1）不考虑括号情况
4个数全排列：4！=24种
需要三个运算符，且运算符可以重复：4*4*4=64
总计：1536
2）考虑括号（是个难点）
自己想的加括号：四个数有五种加括号方式： (AB)CD 、 AB(CD)、 A(BC)D 、 A((BC)D) 、 (AB)(CD)、A(B(CD))
错误点：这里添加括号的时候，需要把四个数都看成相乘。需要加两个括号来列举比较直观
AB(CD) = (AB)(CD)
改正后：((AB)C)D 、 (AB)(CD) 、 (A(BC))D 、 A((BC)D) 、A(B(CD))
四个运算数五种不同加括号方式的由来。这是一个经典的Catalan数问题。
这个经典Catalan数问题在组合数学教材上都能找到。原题目是：n 个数相乘, 不改变它们的位置, 只用括号表示不同的相乘顺序，令g(n)表示这种条件下构成不同乘积的方法数，令C(n)表示第n个Catalan数。则有g(n)=C(n-1)。前几个Catalan数为：C(0)=1，C(1)=1，C(2)=2，C(3)=5，C(4)=14，C(5)=42。所以g(4)=C(3)=5。
根据Catalan数的计算公式，有g(4)=g(1)g(3)+g(2)g(2)+g(3)g(1)。
Catalan数的计算公式也同时提供了构造答案的方法。对于4个数，中间有3个位置，可以在任何一个位置一分为二，被分开的两半各自的加括号方案再拼凑起来就得到一种4个数的加括号方案：
一个数时：(A)，一种
两个数：g(2)=g(1)g(1)，所以是(A)(B)=(AB)，一种
三个数：g(3)=g(1)g(2)+g(2)g(1)=(A)(BC)+(AB)(C)，两种
四个数：g(4)=g(1)g(3)+g(2)g(2)+g(3)g(1)
=(A)[(B)(CD)+(BC)(D)]+(AB)(CD)+[(A)(BC)+(AB)(C)](D)
=A(B(CD)) + A((BC)D) + (AB)(CD) + (A(BC))D + ((AB)C)D
共有五种。于是写代码枚举这五种加括号的方式即可。这种方法只是一种能得到正确答案的方法，扩展性和效率都极差。而且生成的表达式中也有冗余括号。
1 #include <iostream>
2 #include <cmath>
3 using namespace std;
4
5 const double Threshold = 1E-6;
6 const int CardsNumber = 4;
7 const int ResultValue = 24;
8 double number[CardsNumber];
9 string result[CardsNumber];
10
11 bool PointsGame(int n)
12 {
13 if(n == 1)
14 {
15 // 由于浮点数运算会有精度误差，所以用一个很小的数1E-6来做容差值
16 // 本书2.6节中讨论了如何将浮点数转化为分数的问题
17 if(fabs(number[0] - ResultValue) < Threshold)//结果等于24
18 {
19 cout << result[0] << endl;//输出表达式
20 return true;
21 }
22 else
23 {
24 return false;
25 }
26 }
27
28 for(int i = 0; i < n; i++)//第一个数(计算时被两个数结果替换)
29 {
30 for(int j = i + 1; j < n; j++)//第二个数(计算时候被最后一个数替换)
31 {
32 double a, b;//存放计算的数
33 string expa, expb;//存放表达式中两个数
34
35 a = number[i];
36 b = number[j];
37 number[j] = number[n - 1];//去除第二个数
38
39 expa = result[i];
40 expb = result[j];
41 result[j] = result[n - 1];//表达式去除
42
43 result[i] = ‘(‘ + expa + ‘+‘ + expb + ‘)‘;
44 number[i] = a + b;//去除第一个数
45 if(PointsGame(n - 1))
46 return true;
47
48 result[i] = ‘(‘ + expa + ‘-‘ + expb + ‘)‘;
49 number[i] = a - b;
50 if(PointsGame(n - 1))
51 return true;
52
53 result[i] = ‘(‘ + expb + ‘-‘ + expa + ‘)‘;
54 number[i] = b - a;
55 if(PointsGame(n - 1))
56 return true;
57
58 result[i] = ‘(‘ + expa + ‘*‘ + expb + ‘)‘;
59 number[i] = a * b;
60 if(PointsGame(n - 1))
61 return true;
62
63 if(b != 0)
64 {
65 result[i] = ‘(‘ + expa + ‘/‘ + expb + ‘)‘;
66 number[i] = a / b;
67 if(PointsGame(n - 1))
68 return true;
69 }
70 if(a != 0)
71 {
72 result[i] = ‘(‘ + expb + ‘/‘ + expa + ‘)‘;
73 number[i] = b / a;
74 if(PointsGame(n - 1))
75 return true;
76 }
77
78 number[i] = a;//将本次循环的结果消除，继续测试下一对数
79 number[j] = b;
80 result[i] = expa;
81 result[j] = expb;
82 }
83 }
84 return false;
85 }
86
87 int main()
88 {
89 int x;
90 for(int i = 0; i < CardsNumber; i++)
91 {
92 char buffer[20];
93 cout << "the " << i << "th number:";
94 cin >> x;
95 number[i] = x;
96 itoa(x, buffer, 10);
97 result[i] = buffer;
98 }
99 if(PointsGame(CardsNumber))
100 {
101 cout << "Success." << endl;
102 }
103 else
104 {
105 cout << "Fail." << endl;
106 }
107 }
三，分支限界法求解
1 #include <iostream>
2 #include <set>
3 #include <string>
4 #include <cmath>
5 using namespace std;
6
7 #define N 4 // 4张牌，可变
8 #define RES 24 // 运算结果为24，可变
9 #define EPS 1e-6
10
11 struct Elem
12 {
13 Elem(double r, string& i):res(r),info(i){}
14 Elem(double r, char* i):res(r),info(i){}
15 double res; // 运算出的数据
16 string info; // 运算的过程
17 bool operator<(const Elem& e) const
18 {
19 return res < e.res; // 在set的红黑树插入操作中需要用到比较操作
20 }
21 };
22
23 int A[N]; // 记录N个数据
24 // 用二进制数来表示集合和子集的概念，0110表示集合包含第2,3个数
25 set<Elem> vset[1<<N]; // 包含4个元素的集合共有16个子集0-15
26
27 set<Elem>& Fork(int m)
28 {
29 // memo递归
30 if (vset[m].size())
31 {
32 return vset[m];
33 }
34 for (int i=1; i<=m/2; i++)
35 if ((i&m) == i)
36 {
37 set<Elem>& s1 = Fork(i);
38 set<Elem>& s2 = Fork(m-i);
39 set<Elem>::iterator cit1;
40 set<Elem>::iterator cit2;
41 // 得到两个子集合的笛卡尔积，并对结果集合的元素对进行6种运算
42 for (cit1=s1.begin(); cit1!=s1.end(); cit1++)
43 for (cit2=s2.begin(); cit2!=s2.end(); cit2++)
44 {
45 string str;
46 str = "("+cit1->info+"+"+cit2->info+")";
47 vset[m].insert(Elem(cit1->res+cit2->res,str));
48 str = "("+cit1->info+"-"+cit2->info+")";
49 vset[m].insert(Elem(cit1->res-cit2->res,str));
50 str = "("+cit2->info+"-"+cit1->info+")";;
51 vset[m].insert(Elem(cit2->res-cit1->res,str));
52 str = "("+cit1->info+"*"+cit2->info+")";
53 vset[m].insert(Elem(cit1->res*cit2->res,str));
54 if (abs(cit2->res)>EPS)
55 {
56 str = "("+cit1->info+"/"+cit2->info+")";
57 vset[m].insert(Elem(cit1->res/cit2->res,str));
58 }
59 if (abs(cit1->res)>EPS)
60 {
61 str = "("+cit2->info+"/"+cit1->info+")";
62 vset[m].insert(Elem(cit2->res/cit1->res,str));
63 }
64 }
65 }
66 return vset[m];
67 }
68
69 int main()
70 {
71 int i;
72 for (i=0; i<N; i++)
73 cin >> A[i];
74 // 递归的结束条件
75 for (i=0; i<N; i++)
76 {
77 char str[10];
78 sprintf(str,"%d",A[i]);
79 vset[1<<i].insert(Elem(A[i],str));
80 }
81 Fork((1<<N)-1);//开始1111 表示四个数
82 // 显示算出24点的运算过程
83 set<Elem>::iterator it;
84 for (it=vset[(1<<N)-1].begin();
85 it!=vset[(1<<N)-1].end(); it++)
86 {
87 if (abs(it->res-RES) < EPS)
88 cout << it->info << endl;
89 }
90 }
http://blog.csdn.net/tianshuai1111/article/details/7713640