题意：给出一个5个顶点的多面体以及多面体内一点P。求让 多面体不同的方式（即以不同的面）放在地面上，设这个着地的面为A，多面体重心在A上的投影为B，在保证B在A内部且距离A的各个边界不小于0.2的前提 下（否则这种放置方式就是不合法的），求P距离地面的最大最小距离为多少。
思路:
（1）判断两个点是不是在面的同一侧；否则这个面就不能作为着地的面；
（2）计算重心；
（3）计算点在面的投影；
（4）计算点是否在面内；
（5）计算点到线的距离；
（6）计算点到面的距离。
特殊情况：四点共面当底面.
1 #include<cstdio>
2 #include<cmath>
3 using namespace std;
4
5 const double eps = 1e-8;
6 int dcmp(double x)
7 {
8 if(fabs(x) < eps) return 0;
9 else return x < 0 ? -1 : 1;
10 }
11
12 struct Point3
13 {
14 double x, y, z;
15 Point3(double x=0, double y=0, double z=0):x(x),y(y),z(z) { }
16 };
17
18 typedef Point3 Vector3;
19
20 Vector3 operator + (const Vector3& A, const Vector3& B)
21 {
22 return Vector3(A.x+B.x, A.y+B.y, A.z+B.z);
23 }
24
25 Vector3 operator - (const Point3& A, const Point3& B)
26 {
27 return Vector3(A.x-B.x, A.y-B.y, A.z-B.z);
28 }
29
30 Vector3 operator * (const Vector3& A, double p)
31 {
32 return Vector3(A.x*p, A.y*p, A.z*p);
33 }
34
35 Vector3 operator / (const Vector3& A, double p)
36 {
37 return Vector3(A.x/p, A.y/p, A.z/p);
38 }
39
40 double Dot(const Vector3& A, const Vector3& B)
41 {
42 return A.x*B.x + A.y*B.y + A.z*B.z;
43 }
44 double Length(const Vector3& A)
45 {
46 return sqrt(Dot(A, A));
47 }
48 double Angle(const Vector3& A, const Vector3& B)
49 {
50 return acos(Dot(A, B) / Length(A) / Length(B));
51 }
52 Vector3 Cross(const Vector3& A, const Vector3& B)
53 {
54 return Vector3(A.y*B.z - A.z*B.y, A.z*B.x - A.x*B.z, A.x*B.y - A.y*B.x);
55 }
56 double Area2(const Point3& A, const Point3& B, const Point3& C)
57 {
58 return Length(Cross(B-A, C-A));
59 }
60 double Volume6(const Point3& A, const Point3& B, const Point3& C, const Point3& D)
61 {
62 return Dot(D-A, Cross(B-A, C-A));
63 }
64
65 bool read_point3(Point3& p)
66 {
67 if(scanf("%lf%lf%lf", &p.x, &p.y, &p.z) != 3) return false;
68 return true;
69 }
70
71 // 点p到平面p0-n的距离。n必须为单位向量
72 double DistanceToPlane(const Point3& p, const Point3& p0, const Vector3& n)
73 {
74 return fabs(Dot(p-p0, n)); // 如果不取绝对值，得到的是有向距离
75 }
76
77 // 点p在平面p0-n上的投影。n必须为单位向量
78 Point3 GetPlaneProjection(const Point3& p, const Point3& p0, const Vector3& n)
79 {
80 return p-n*Dot(p-p0, n);
81 }
82
83 // 点P到直线AB的距离
84 double DistanceToLine(const Point3& P, const Point3& A, const Point3& B)
85 {
86 Vector3 v1 = B - A, v2 = P - A;
87 return Length(Cross(v1, v2)) / Length(v1);
88 }
89
90 // p1和p2是否在线段a-b的同侧
91 bool SameSide(const Point3& p1, const Point3& p2, const Point3& a, const Point3& b)
92 {
93 return dcmp(Dot(Cross(b-a, p1-a), Cross(b-a, p2-a))) >= 0;
94 }
95
96 // 点在三角形P0, P1, P2中
97 bool PointInTri(const Point3& P, const Point3& P0, const Point3& P1, const Point3& P2)
98 {
99 return SameSide(P, P0, P1, P2) && SameSide(P, P1, P0, P2) && SameSide(P, P2, P0, P1);
100 }
101
102 // 四面体的重心
103 Point3 Centroid(const Point3& A, const Point3& B, const Point3& C, const Point3& D)
104 {
105 return (A + B + C + D)/4.0;
106 }
107
108 #include<algorithm>
109 //using namespace std;
110
111 // 判断P是否在三角形A, B, C中，并且到三条边的距离都至少为mindist。保证P, A, B, C共面
112 bool InsideWithMinDistance(const Point3& P, const Point3& A, const Point3& B, const Point3& C, double mindist)
113 {
114 if(!PointInTri(P, A, B, C)) return false;
115 if(DistanceToLine(P, A, B) < mindist) return false;
116 if(DistanceToLine(P, B, C) < mindist) return false;
117 if(DistanceToLine(P, C, A) < mindist) return false;
118 return true;
119 }
120
121 // 判断P是否在凸四边形ABCD（顺时针或逆时针）中，并且到四条边的距离都至少为mindist。保证P, A, B, C, D共面
122 bool InsideWithMinDistance(const Point3& P, const Point3& A, const Point3& B, const Point3& C, const Point3& D, double mindist)
123 {
124 if(!PointInTri(P, A, B, C)) return false;
125 if(!PointInTri(P, C, D, A)) return false;
126 if(DistanceToLine(P, A, B) < mindist) return false;
127 if(DistanceToLine(P, B, C) < mindist) return false;
128 if(DistanceToLine(P, C, D) < mindist) return false;
129 if(DistanceToLine(P, D, A) < mindist) return false;
130 return true;
131 }
132
133 int main()
134 {
135 for(int kase = 1; ; kase++)
136 {
137 Point3 P[5], F;
138 for(int i = 0; i < 5; i++)
139 if(!read_point3(P[i])) return 0;
140 read_point3(F);
141
142 // 求重心坐标
143 Point3 c1 = Centroid(P[0], P[1], P[2], P[3]);
144 Point3 c2 = Centroid(P[0], P[1], P[2], P[4]);
145 double vol1 = fabs(Volume6(P[0], P[1], P[2], P[3])) / 6.0;
146 double vol2 = fabs(Volume6(P[0], P[1], P[2], P[4])) / 6.0;
147 Point3 centroid = (c1 * vol1 + c2 * vol2) / (vol1 + vol2);
148
149 // 枚举放置方案
150 double mindist = 1e9, maxdist = -1e9;
151 for(int i = 0; i < 5; i++)
152 for(int j = i+1; j < 5; j++)
153 for(int k = j+1; k < 5; k++)
154 {
155 // 找出另外两个点的下标a和b
156 int vis[5] = {0};
157 vis[i] = vis[j] = vis[k] = 1;
158 int a, b;
159 for(a = 0; a < 5; a++) if(!vis[a])
160 {
161 b = 10-i-j-k-a;
162 break;
163 }
164
165 // 判断a和b是否在平面i-j-k的异侧(体积法判断)
166 int d1 = dcmp(Volume6(P[i], P[j], P[k], P[a]));
167 int d2 = dcmp(Volume6(P[i], P[j], P[k], P[b]));
168 if(d1 * d2 < 0) continue; // 是，则放置方案不合法
169
170 Vector3 n = Cross(P[j]-P[i], P[k]-P[i]); // 法向量
171 n = n / Length(n); // 单位化
172
173 Point3 proj = GetPlaneProjection(centroid, P[i], n); // 重心在平面i-j-k上的投影
174 bool ok = InsideWithMinDistance(proj, P[i], P[j], P[k], 0.2);
175 if(!ok)
176 {
177 if(d1 == 0) // i-j-k-a四点共面。i和j一定为ABC三个顶点之一，k和a是D或者E
178 {
179 if(!InsideWithMinDistance(proj, P[i], P[k], P[j], P[a], 0.2)) continue;
180 }
181 else if(d2 == 0) // i-j-k-b四点共面。i和j一定为ABC三个顶点之一，k和b是D或者E
182 {
183 if(!InsideWithMinDistance(proj, P[i], P[k], P[j], P[b], 0.2)) continue;
184 }
185 else
186 continue;
187 }
188
189 // 更新答案
190 double dist = DistanceToPlane(F, P[i], n);
191 mindist = min(mindist, dist);
192 maxdist = max(maxdist, dist);
193 }
194 printf("Case %d: %.5lf %.5lf\n", kase, mindist, maxdist);
195 }
196 return 0;
197 }
时间： 2024-10-05 15:47:49