- 哲学家这个词（philosopher）是由毕达哥拉斯撰造出来的。在一个次奥林匹亚运动会上，毕达哥拉斯向弗利尤斯的利昂王子描他自己为哲学家：“利昂王子，生活好比这些公开的竞技会。在这里聚集的一大群人中，有些人受奖励物的诱惑而来，另一些人则因对名誉和荣耀的企求和受野心的驱使而来，但他们中间也有少数人来这里是为了观察和理解这里发生的一切。
- 生活同样如此。有些人因爱好财富而被左右，另一些人则因热衷于权力和支配而盲从，但是最优秀的一类人则献身于发现生活本身的意义和目的。他设法揭示自然的奥秘。这就是我称之为哲学家的人。虽然没有一个人在各方面都是很有智慧的，但是他能热爱知识，视其为揭开自然界奥秘的钥匙。
- 寻找一个数学证明就是寻找一种认识，这种认识比任何别的训练所积累的认识都更不容置疑。而对于物理性的科学理论的明而言，它仅仅是根据已得到的证据被认为是非常可能的。所谓的科学证明依赖于观察和理解力，这两者是容易出错的，并且仅仅提供了近似于真理的概念。罗素说：“虽然这有点像是悖论，然而所有的精确科学都被近似性这个观念支配着。”
- 关于梅尼森神父（Father Marin Mersenne）：虽然此人对于数论的贡献不大，但是他对于数学研究者之间的交流起到了很深远的作用。因为十九世纪前的巴黎的数学家对于自己的研究成果和新发现守口如瓶，以显示自己在某一方面做如无人能及的贡献。但是该神父鼓励数学家之间交流思想，从而促进各自的工作。
- 任何学科的发展依赖于其交流和表达思想的能力，而后者又借助于足够细致和灵活的语言。
- 怀尔斯是一个单纯而又有抱负的孩子，他看到了一个成功的机会，一代代的数学家在这个机会面前都失败了。在别人看来这似乎像一个鲁莽的梦想，但是年轻的安德鲁却想到了他——一个20世纪的中学生——懂得的数学与17世纪的天才皮埃尔.德.费马一样多，或许由于他的天真会使他碰巧找到一个别的世故得多的学者未曾注意到的证明。
- 创建数学是一个充满着痛苦且极为神秘的历程。通常证明的目标是清楚的，但是道路却隐没在浓雾之中。数学家们踌躇不决地计算着，担心着每一步都有可能使论证朝着完全错误的方向进行。此外，还担忧根本没有路存在。数学家可能会相信某个命题是对的，并且花费几年的工夫去证明它确实是对的，可是它实际上完全是错的。于是，在效果上，这个数学家只是一直在企图证明不可能的事。
- 无穷递降法：如证明方程\(x^4 + y^4 = z^4\) 没有整数解，费马假定存在一个解，然后证明将存在一个更小的解必然存在，然后这样一直进行下去，产生越来越小的解。这是一个无穷的梯队，但实际 x,y,z 必须是整数，所以必定会有一个最小解，从而产生矛盾。
- 在罗马军队入侵时，阿基米德正全神贯注于研究沙堆中的一个几何图形，以致疏忽了回答一个罗马士兵的问话。结果他被长矛戳死。热尔曼得出这样的结论：如果一个人会如此痴迷于一个结果会导致他死亡的几何问题，那么数学必定是世界上最迷人的学科了。
- 关于数学中的不变量：洛伊德的数字移动游戏（有点像是华容道）表明，无论如何移动滑块，最终数字的乱序数均为偶数。这就是在各种移动操作下的不变量。所以，若数字的错序数为奇数，无论如何移动，也不可能由最初的正确顺序得到奇数的错序排列。在证明不可能将一个对象变成另一个对象时，不变量为数学家提供了一种重要的策略。
- 数学在科学技术中有它的应用，但这不是驱使数学家们的动力。激励数学家们的是因发现而得到的乐趣。… 解答某个数学问题的欲望多半是出于好奇，而回报则是因解决了难题而获得的单纯而又巨大的满足感。
- 研究费马可能带来的问题是，你也许会虚度岁月而一无所成。只要研究某个问题时能在研究过程中产生出使人感兴趣的数学，那么研究它就是值得的——即使你最终也没有解决它。判断一个数学问题是否是好的，其标准就是看它能否产生新的数学，而不是问题本身。
- 约翰.科茨的责任是为安德鲁找到新的钟情的东西，某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究一番的东西。“我认为研究生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这过程中能做的一件事是使用他的实用的常识，他的对何为好的领域的直觉，然后，学生能在这个方向上有多大成绩就确实是他自己的事了。”
- 当他们在 1954 年相遇时，谷山和志村都刚开始从事数学事业。当时的习惯做法（现在仍然是这样）是把年轻的研究人员置于一位教授的领导之下，这位教授负责对初出茅户的年轻人予以指导，但是谷山和志村拒绝这种带徒弟的方式。… 按照志村的说法， 教授们已经“精疲力竭，不再具有理想” 。比较起来，经过战争磨炼的学生对学习显得更为着迷和迫切， 他们很快就意识到对他们来说前进的唯一方法是自己教自己 。学生们组织定期的研讨班，参加研讨班使他们能彼此了解、交流最新的技术和突破。尽管谷山在其他方面常常显得没精打采，但他一参加研讨班就成了巨大的推动力。他会激励高年级学生探索未知的领域，而对更年轻的学生他又充当起父辈的角色。
- 怀尔斯清楚地知道，为了有希望找到证明，他必须全身心地将自己投入到这个问题。但是与希尔伯特不一样，他准备冒这个风险。 他阅读了所有的最新杂志，然后反复操练最新的技巧方法，直到它们成为他的第二本能为止 。为了为将来的战斗收集必要的武器，怀尔斯花了18个月的时间使自己熟悉以前曾被应用于椭圆方程或模形式的，以及从它们推导出来的全部数学。
- 你常常会写下一些话来阐明你的想法，但并不一定如此。特别是当你真的进入死胡同的时候，当有一个真正的问题需要你去征服的时候，那种循规蹈矩的数学思维对你来说毫无用处。导致那一类新的想法必须经过长时间的对那个问题的极其专注的思考，不能有任何分心。这之后似乎有一段松弛期，在这期间潜意识出现，占据了你的脑海。正是在这段期间，某种新见解冒出来了。
- 怀尔斯解释说，他决定秘密地工作的部分原因是他希望自己的工作不受干扰。“我意识到与费马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”
- 怀尔斯借用穿越一幢漆黑的未经探测的大厦的经历来描述他在做数学研究时的感受。“设想你进入大厦的第一个房间，里面很黑，一片漆黑。你在家具之间跌跌撞撞，但是逐渐你搞清楚了每一件家具所在的位置。最后，经过6个多月或再多一些的时间，你找到了电灯开关，打开了灯。突然整个房间充满光明，你能确切地明白你在何处。然后，你又进入下一个房间，又在黑暗中摸索了6个月。因此，每一次这样的突破，尽管有时候只是一瞬间的事，有时候要一两天的时间，但它们实际上是这之前的许多个月里在黑暗中跌跌撞撞的最终结果，没有前面的这一切它们是不可能出现的。”
- 如果你不知道这些数学是做什么用的话，你就不可能懂得它。即使你知道它是做什么用的，它也是很难搞懂的。
- 费马大定理证明的最后一步：5月末的一个早晨，内达和孩子们一起出去了，我坐在书桌旁思考着这剩下的一族椭圆方程。我随意地看一下巴里.梅休尔的一篇论文，恰好其中有一句话引起了我的注意。它提到一个19世纪的构造，我突然意识到我应该能够使用这个结构来使科瓦利金-弗莱切方法也适用于这最后的一族椭圆方程。我一直工作到下午，忘记了下去吃午饭。到了大约下午三四点钟的时候，我真正地确信这将解决最后剩下的问题。当时已到饮茶休息的时候，我走下楼去，内达非常惊奇我来得这么迟。然后我告诉她──我已经解决了费马大定理。
- 怀尔斯在牛顿研究所演讲后不到6个月，他的证明已破绽百出。多年的秘密演算给他带来的愉悦、激情和希望被烦恼和失望替代。他回忆说他童年的梦想已经变成一场恶梦：“在我从事这个问题的研究的头7年中，我很喜欢这种暗中进行的战斗。不管它曾是多么的困难，不管它看上去是怎样的不可逾越，我与我心爱的问题密不可分。它是我童年时代的恋情，我决不能放下它，我一刻也不想离开它。后来我公开地谈论它，在谈论它时确实有某种失落感。这是一种非常复杂的感情。
- 怀尔斯向彼得.萨纳克承认情况已面临绝境，他准备承认失败。萨纳克向他暗示困难的一部分来自怀尔斯缺少一个他可以依赖的进行日常讨论的人；没有他能够与其探讨想法的人，也没有能鼓励他利用一些侧面的处理方法的人。
- 突然间，完全出乎意料，我有了一个难以置信的发现。我意识到，虽然科利瓦金─弗莱切方法现在不能完全行得通，但是我只需要它就可以使我原先采用的伊娃沙娃理论奏效。我认识到科瓦利金-弗莱切方法中有足够的东西使我原先的3年前的工作中对这个问题的处理方法取得成功。所以，对这个问题的正确答案似乎就在科利瓦金-弗莱切的废墟之中。”
- 单靠伊娃沙娃理论不足以解决问题，单靠科利瓦金-弗莱切方法也不足以解决问题，它们结合在一起却可以完美地互相补足。
时间： 2024-12-29 09:21:50