题目：
Fibonacci |
| Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) |
| Total Submission(s): 3036 Accepted Submission(s): 1397 |
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Problem Description 2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列 |
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Input 输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。 |
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Output 输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。 |
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Sample Input 0 1 2 3 4 5 35 36 37 38 39 40 |
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Sample Output 0 1 1 2 3 5 9227 1493 2415 3908 6324 1023 |
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Author daringQQ |
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Source Happy 2007 |
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题目分析：
这道题和那些斐波那契水题不一样。这里的n很大(n<100000000)。在这道题中直接开数组打表是行不通的，那样会超时。所以这道题采用以下思路来解决：
1）当n较小时，直接从打好的表中输出相应的斐波那契数。
2）当n较大时，使用公式并结合对数的性质来解决。
以下是用到的一些推导：
（1）我们要知道斐波那契数列的通项公式：F[N]=(1/√5) * [((1+√5)/2)^N-((1-√5)/2)^N].
（2）对数log的强悍(以10为底)：对两边取对数
logF[N]=-0.5*log5+log [((1+√5)/2)^N-((1-√5)/2)^N].
我们知道当N小于21的时候，斐波那契的数值不超过四位，而当N超过21时，((1-√5)/2)^N的值已经趋向于0了，我们可以不管 这项。那么原式就可以化为：
logF[N]=-0.5*log5+N*log (1+√5)/2
把后面的记为K=-0.5*log5+N*log (1+√5)/2
那么 10^K=F[N];！！！
举个例子： 10^2.3=199.5262314.......
10^0.3=1.995262314.......
这样具体的数字很直观，对映到 10^K=F[N]，取K的小数部分后，10^K就变为了科学计数的形式，那么此时你要取多少位就可以取 多少位，就像要是你知道了10^0.3，那么你想得到1.995262314......的几位就几位！！
代码如下：
/*
* a1.cpp
*
* Created on: 2015年2月2日
* Author: Administrator
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 21;//斐波那契的地21项是1094
int f[maxn];
/**
* 用于处理不是很大的斐波那契数。
* 在这里如果n小于21，就直接从大号的斐波那契表中输出
*/
void init(){
int i;
f[1] = 1;
f[2] = 1;
for(i = 3 ; i < maxn ; ++i){
f[i] = f[i-1] + f[i-2];
}
}
/**
* 朱勇用于处理斐波那契数很大的情况
* 在这里主要是用到了公式来解决这个问题
*/
int solve(int n){
double k = -0.5*log10(5) + n*log10((1+sqrt(5*1.0))/2);
k -= (int)k;//讲幂数变成0.X的形式方便后面处理
double ans = pow(10,k);
while(ans < 1000){//只输出前4位
ans *= 10;
}
// cout << ans << endl;
return (int)ans;//取整,去掉小数点后面的数
}
int main(){
int n;
init();
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
if(n < maxn){//如果n小于21则直接从大号的表中输出
printf("%d\n",f[n]);
}else{//如果n>21则用公式计算好后在输出相应的斐波那契数
printf("%d\n",solve(n));
// solve(n);
}
}
return 0;
}