十进制快速幂+矩阵乘法+常数优化
听说这题还可以强行算出来递推式……然后乘乘除除算出来……
然而蒟蒻选择了一个比较暴力的做法= =
我们发现这个递推的过程是线性的，所以可以用矩阵乘法来表示，$x=a*x+b$这样一个递推式我们可以这样表示：$$\begin{bmatrix} x& 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} a& 0 \\ b& 1 \end{bmatrix} $$
那么我们可以令$s_1$表示×a+b，$s_2$表示×c+d，那么我们有$$ans=v * ( ({s_1}^{n-1}*s_2)^{m-1} * {s_1}^{n-1} )$$
然而直接算我给TLE了……
下面说一下常数优化：
我们注意到矩阵乘法的时候有：$$\begin{bmatrix} a& 0 \\ b& 1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} c& 0 \\ d& 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a*c& 0 \\ a*d+b& 1 \end{bmatrix}$$
也就是说：第二列的0和1是一直不动的……那么我们可以将大部分$O(n^3)$的矩阵乘法过程优化到$O(n^2)$。
这里我们${s_1}^{n-1}$出现了两次，那么我们可以用一个中间变量先存下来，可以减少一次运算（毕竟整个算法的主要部分就是在算这几个power）
1 /**************************************************************
2 Problem: 3240
3 User: Tunix
4 Language: C++
5 Result: Accepted
6 Time:7980 ms
7 Memory:3232 kb
8 ****************************************************************/
9
10 //BZOJ 3240
11 #include<vector>
12 #include<cstdio>
13 #include<cstring>
14 #include<cstdlib>
15 #include<iostream>
16 #include<algorithm>
17 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
18 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
19 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
20 #define pb push_back
21 using namespace std;
22 inline int getint(){
23 int v=0,sign=1; char ch=getchar();
24 while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){ if (ch==‘-‘) sign=-1; ch=getchar();}
25 while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){ v=v*10+ch-‘0‘; ch=getchar();}
26 return v*sign;
27 }
28 const int N=1e6+10,INF=~0u>>2,P=1e9+7;
29 typedef long long LL;
30 /******************tamplate*********************/
31
32 struct Matrix{
33 int v[2][2];
34 Matrix(int x=0){F(i,0,1)F(j,0,1)if(i==j)v[i][j]=x;else v[i][j]=0;}
35 int* operator [] (int x){return v[x];}
36 }s1,s2,v;
37 inline Matrix operator * (Matrix a,Matrix b){
38 Matrix c;
39 if (a[0][1]==0 && a[1][1]==1 && b[0][1]==0 && b[1][1]==1){
40 c[0][0]=(LL)a[0][0]*b[0][0]%P;
41 c[0][1]=0;
42 c[1][0]=((LL)a[0][0]*b[1][0]+(LL)a[1][0])%P;
43 c[1][1]=1;
44 return c;
45 }
46 F(k,0,1) F(i,0,1) F(j,0,1)
47 c[i][j]=((LL)c[i][j]+(LL)a[i][k]*b[k][j]%P)%P;
48 return c;
49 }
50 inline Matrix Pow(Matrix a,int b){
51 Matrix c(1);
52 F(i,1,b) c=c*a;
53 return c;
54 }
55 inline Matrix Power(Matrix a,char* s){
56 Matrix r(1); int l=strlen(s);
57 D(i,l-1,0){
58 if (s[i]-‘0‘) r=r*Pow(a,s[i]-‘0‘);
59 a=Pow(a,10);
60 }
61 return r;
62 }
63 char n[N],m[N];
64 int main(){
65 #ifndef ONLINE_JUDGE
66 freopen("3240.in","r",stdin);
67 freopen("3240.out","w",stdout);
68 #endif
69 scanf("%s",n); scanf("%s",m);
70 int l1=strlen(n)-1;
71 while(n[l1]==‘0‘) n[l1--]=‘9‘;
72 n[l1]--;
73 l1=strlen(m)-1;
74 while(m[l1]==‘0‘) m[l1--]=‘9‘;
75 m[l1]--;
76 // printf("%s %s\n",n,m);
77 int a,b,c,d;
78 a=getint(); b=getint(); c=getint(); d=getint();
79 v[0][0]=v[0][1]=1; v[1][0]=v[1][1]=0;
80 s1[0][0]=a; s1[0][1]=0; s1[1][0]=b; s1[1][1]=1;
81 s2[0][0]=c; s2[0][1]=0; s2[1][0]=d; s2[1][1]=1;
82 Matrix s3=Power(s1,m);
83 v=v*(Power(s3*s2,n)*s3);
84 printf("%d\n",v[0][0]);
85 return 0;
86 }
3240: [Noi2013]矩阵游戏
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 256 MB
Submit: 890 Solved: 390
[Submit][Status][Discuss]
Description
婷婷是个喜欢矩阵的小朋友,有一天她想用电脑生成一个巨大的n行m列的矩阵(你不用担心她如何存储)。她生成的这个矩阵满足一个神奇的性质：若用F[i][j]来表示矩阵中第i行第j列的元素，则F[i][j]满足下面的递推式:
F[1][1]=1
F[i,j]=a*F[i][j-1]+b (j!=1)
F[i,1]=c*F[i-1][m]+d (i!=1)
递推式中a,b,c,d都是给定的常数。
现在婷婷想知道F[n][m]的值是多少,请你帮助她。由于最终结果可能很大，你只需要输出F[n][m]除以1,000,000,007的余数。
Input
一行有六个整数n,m,a,b,c,d。意义如题所述
Output
包含一个整数，表示F[n][m]除以1,000,000,007的余数
Sample Input
3 4 1 3 2 6
Sample Output
85
HINT
样例中的矩阵为：
1 4 7 10
26 29 32 35
76 79 82 85
1<=N,M<=10^1000 000,a<=a,b,c,d<=10^9