容斥原理学习

简单入门题目:

UVA10325   The lottery  http://vjudge.net/vjudge/contest/view.action?cid=53767#problem/A

设A[I]表示 是其中i个数的倍数的个数

SUM=A[1]-A[2]+A[3]-A[4]。。。。。

ANS=N-SUM;

代码如下：

[cpp] view plaincopy

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
LL a[15];
LL gcd(LL a,LL b){
if(b)
return gcd(b,a%b);
return a;
}
LL lcm(LL a,LL b){
return a/gcd(a,b)*b;
}
int main()
{
int m;
LL n,ans;
while(cin>>n>>m){
for(int i=0;i<m;i++)
cin>>a[i];
ans=0;
for(int i=1;i<(1<<m);i++){
LL l=1,flag=0;
for(int j=0;j<m;j++){
if((1<<j)&i){
l=lcm(l,a[j]);
if(l>n) break;
flag++;
}
}
if(flag&1)
ans+=n/l;
else
ans-=n/l;
}
cout<<n-ans<<endl;
}
return 0;
}

SPOJ   Another Game With Numbers   http://vjudge.net/vjudge/contest/view.action?cid=53767#problem/C

思路同上。

代码如下：

[cpp] view
plaincopy

1. #include <iostream>
2. #include <cstring>
3. #include <cstdio>
4. #define LL long long
5. using namespace std;
6. LL a[15];
7. LL gcd(LL a,LL b){
8. if(b)
9. return gcd(b,a%b);
10. return a;
11. }
12. LL lcm(LL a,LL b){
13. return a/gcd(a,b)*b;
14. }
15. int main()
16. {
17. int m;
18. LL n,ans;
19. while(cin>>n>>m){
20. for(int i=0;i<m;i++)
21. cin>>a[i];
22. ans=0;
23. for(int i=1;i<(1<<m);i++){
24. LL l=1,flag=0;
25. for(int j=0;j<m;j++){
26. if((1<<j)&i){
27. l=lcm(l,a[j]);
28. if(l>n) break;
29. flag++;
30. }
31. }
32. if(flag&1)
33. ans+=n/l;
34. else
35. ans-=n/l;
36. }
37. cout<<n-ans<<endl;
38. }
39. return 0;
40. }

UVA 11806 Cheerleaders   http://vjudge.net/vjudge/contest/view.action?cid=53767#problem/B

分析：

题目的意思就是 m*n个格子 在上面放k个  且第一行第一列最后一行最后一列都必须得放

反面考虑，考虑所有不符合条件的情况 ，一共有15种 ，然后用所有的情况减去即可；

代码如下：

[cpp] view
plaincopy

1. #include <iostream>
2. #include <cstring>
3. #include <cstdio>
4. #define LL long long
5. using namespace std;
6. const int maxn = 410;
7. const int mod = 1000007;
8. int com[maxn][maxn];
9. void init(){
10. memset(com,0,sizeof(com));
11. for(int i=0;i<maxn;i++)
12. com[i][0]=1;
13. for(int i=1;i<maxn;i++){
14. for(int j=1;j<=i;j++)
15. com[i][j]=(com[i-1][j-1]%mod+com[i-1][j]%mod)%mod;
16. }
17. }
18. int n,m,k;
19. int solve(){
20. int ans=0;
21. for(int i=1;i<(1<<4);i++){
22. int num=0,r=n,c=m;
23. if(i&1) r--,num++;
24. if(i&2) r--,num++;
25. if(i&4) c--,num++;
26. if(i&8) c--,num++;
27. if(num%2==0)
28. ans=(ans+mod-com[r*c][k])%mod;
29. else
30. ans=(ans+com[r*c][k])%mod;
31. }
32. return (com[m*n][k]-ans+mod)%mod;
33. }
34. int main()
35. {
36. int t,cnt=1;
37. init();
38. cin>>t;
39. while(t--){
40. cin>>n>>m>>k;
41. int ans=solve();
42. printf("Case %d: %d\n",cnt++,ans);
43. }
44. return 0;
45. }

POJ 3904  Sky Code :http://poj.org/problem?id=3904

分析：

反面考虑，求出取出四个数的所有情况中 GCD(A,B,C,D)!=1的情况；我们只需将每一个数都给素因子分解，然后看使用不重复的素因子所能组成的因子的个数，并统计组成该因子 的素因子的个数

例如  形成的的因子2 的个数 为a，形成因子3的个数为b，形成6的因子的个数为c  则cnt=com(a,4)+com(b,4)-com(c,4);

代码如下：

[cpp] view
plaincopy

1. #include<iostream>
2. #include<cstdlib>
3. #include<stdio.h>
4. #include<memory.h>
5. #define maxn 10005
6. using namespace std;
7. long long Count[maxn];
8. long long num[maxn];
9. long long p[maxn];
10. long long prime[maxn];
11. void init()
12. {
13. memset(p,0,sizeof(p));
14. memset(num,0,sizeof(num));
15. for(long long i=4;i<maxn;i++)
16. p[i]=i*(i-1)*(i-2)*(i-3)/24;
17. }
18. void solve(long long  n)
19. {
20. long long  tol=0;
21. for(long long  i=2;i*i<=n;i++)
22. {
23. if(n%i==0)
24. {
25. prime[tol++]=i;
26. }
27. while(n%i==0)
28. n/=i;
29. }
30. if(n!=1)
31. prime[tol++]=n;
32. for(long long  i=1;i<(1<<tol);i++)
33. {
34. long long k=1;
35. long long sum=0;
36. for(long long  j=0;j<tol;j++)
37. {
38. if(i&(1<<j))
39. {
40. k*=prime[j];
41. sum++;
42. }
43. }
44. Count[k]++;//记录当前因子的个数
45. num[k]=sum;//记录当前因子是由多少个素因子组成
46. }
47. }
48. int main()
49. {
50. init();
51. long long  n;
52. long long  m;
53. while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
54. {
55. memset(Count,0,sizeof(Count));
56. for(long long  i=0;i<n;i++)
57. {
58. scanf("%lld",&m);
59. solve(m);
60. }
61. long long ans=0;
62. for(long long  i=0;i<maxn;i++)
63. {
64. if(Count[i])
65. {
66. if(num[i]%2)
67. {
68. ans+=p[Count[i]];
69. }
70. else
71. ans-=p[Count[i]];
72. }
73. }
74. cout<<p[n]-ans<<endl;
75. }
76. return 0;
77. }

SPOJ 4168 Square-free integers

http://vjudge.net/vjudge/contest/view.action?cid=53767#problem/E

分析：

求1~n中有多少个数可以写成 x^2,我们可以把这样的数写成 p^(2*q),

1~n中这样的数的个数为n/(p*p);中间重复的数我们根据容斥原理可以去掉

系数为莫比乌斯函数值

代码如下：

[cpp] view
plaincopy

1. #include <iostream>
2. #include <cstdio>
3. #include <cstring>
4. using namespace std;
5. typedef long long LL;
6. const int maxn = 10000100;
7. bool p[maxn];
8. int mu[maxn],prime[maxn],cnt;
9. //线性筛选求莫比乌斯反演
10. void Init()
11. {
12. memset(p,0,sizeof(p));
13. mu[1] = 1;
14. cnt = 0;
15. for(int i=2; i<maxn; i++){
16. if(!p[i]){
17. prime[cnt++] = i;
18. mu[i] = -1;
19. }
20. for(int j=0; j<cnt&&i*prime[j]<maxn; j++){
21. p[i*prime[j]] = 1;
22. if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]] = mu[prime[j]]*mu[i];
23. else
24. break;
25. }
26. }
27. }
28. int main()
29. {
30. Init();
31. LL n,ans;
32. int ca;
33. scanf("%d",&ca);
34. while(ca--){
35. scanf("%lld",&n);
36. ans=0;
37. for(int i=1;i<=n/i;i++){
38. if(mu[i])
39. ans+=n/i/i*mu[i];
40. }
41. printf("%lld\n",ans);
42. }
43. return 0;
44. }