说到素数不得不说素数判定算法。
其中极为经典的为Rabin Miller测试。
通过二次探测的方法，我们可以将其正确率上升到一个很高的高度。
二次探测的原理我还是不太懂，所以NOI前我暂时只是梳理一下这个算法的流程。
首先，我来介绍一些小Trick。
$O(1)$的快速乘。
在一些卡常数而且爆long long的取余问题中我们常常要用到快速乘。
朴素的快速乘是$O(logn)$的，从而添加了不必要的复杂度。
在这里介绍$O(1)$的快速乘。
在 c++ 运算中，有的时候是会爆long long的，但它实质上是对于$0x7ffffffffffffff$取余的结果，这就为我们创造了良好的性质
在long long运算中我们只要不涉及除法，那么他一直是对INF取余的结果，对答案没有干扰。
所以代码就很好理解了：
1 LL mul(LL a,LL b,LL mod){
2 if(a<=(LL)(1e8) && b<=(LL)(1e8)) return a*b%mod;
3 return (a*b - (LL)(a/(LD)mod*b + 1e-3)*mod + mod) % mod;
4 }
注意快速乘在很小的数字时可能出错，所以特判一下。
注意一下Linux下rand()函数足够大，不需要我们去拓充。
转入正题：Rabin测试。
我的Rabin在INT范围内不会出错，在LOGN LONG范围内出错的概率极低。
首先是写一个check(LL x,LL P)，用数字x检验P是否为素数。
1 bool check(LL x,LL P){
2 LL tmp=P-1;
3 while(!(tmp&1)) tmp>>=1;
4 LL m=qpow(x,tmp,P);
5 if(m==1) return 1;
6 while(tmp<P){
7 if(m==P-1) return 1;
8 tmp<<=1; m=mul(m,m,P);
9 }
10 return 0;
11 }
完了又要死记 TAT。
梳理一下过程
首先将P-1中所有的2全都除掉。
这时候如果tmp 为 P-1 或者 1是伪素数。（具体就用 $x^{tmp} = 1 (mod P)$判定）
这时候检查$x^{2tmp} , x^{4tmp}, x^{8tmp} ....$是否等于 $P-1$。
如果没有则说明P不是素数。
接下来基于这一个$O(logn)$判定素数，我们有$O(n^{1/4})$的分解质因数算法。
Rho算法。
Rho算法是基于一个定理对于一个小于n的数字x如果 $(x,n) ≠ 1$ 则有，(x,n)为n的因子。
这样我们只要考虑怎样高效地得到这样的数字x。
1 LL Rdo(LL n,LL c){
2 LL i=1,k=2,x,y,d,p;
3 x=Rand()%n;
4 y=x;
5 while(1){
6 i++;
7 x=(mul(x,x,n)+c)%n;
8 if(y==x) return n;
9 p=Abs(x-y);
10 d=gcd(p,n);
11 if(d!=1&&d!=n) return d;
12 if(i==k){
13 y=x;
14 k+=k;
15 }
16 }
17 }
18
19 int tot;
20 LL a[N];
21
22 void down(LL n){
23 if(n==1) return;
24 if(isprime(n)){
25 a[++tot]=n;
26 return;
27 }
28 LL t=n;
29 while(t==n) t=Rdo(n,Rand()%(n-1)+1);
30 down(t);
31 down(n/t);
32 }
Rdo() 主要是返回一个n的因子的，好像有证明通过上面那种方法最后是一个Rdo形状。
这样我们就可以得到了分解质因数的高效方法。
注意一个数字的质因子最多有$O(logn)$个，因为质因数的乘积为n，而且质因数都大于1.
继续，某天SB PHX在B站上随便找题。
找到了这样一道题：
给定一个整数N，求N最少可以拆成多少个完全平方数的和。
贪心？？
然而数据范围：
30.的数据N≤10^6
60.的数据N≤10^9
100.的数据0≤N≤10^18 ,TEST<=1000
显然是让$O(logn)$的样子
所以根据拉格朗日平方和定理，答案为1~4
答案为1，直接SB 开方验证
答案为2，根据勾股数定理一个数字为勾股数当且仅当其质因数分解中所有的$4n+3$项的指数为偶数。（具体证法百度“勾股数”，基本上就是同余和欧几里得的知识）
答案为3，根据初等数论中的不等式 $n ≠ (8k + 7) \cdot 4^{m}$
不然答案为4，根据 拉格朗日平方和定理即可。
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