希尔伯特变换的物理意义

作者：王赟 Maigo
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希尔伯特变换的物理意义十分简单：把信号的所有频率分量的相位推迟90度。
也就是说，如果原信号可以表示成 $x(t) = \int_0^\infty A(\omega) \cos(\omega t + \varphi(\omega)) \,\text{d}\omega$ ，
则经过希尔伯特变换后的信号为 $y(t) = \int_0^\infty A(\omega) \sin(\omega t + \varphi(\omega)) \,\text{d}\omega$ 。
这一点通过希尔伯特变换的频域形式很容易看出来：
$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$ ，其中 $H(\omega) = \left\{ \begin{array}{ll} -\text{i} = \text{e} ^ {-\text{i}\pi/2}, & \omega > 0 \\ 0, & \omega = 0 \\ \text{i} = \text{e} ^ {\text{i}\pi/2}, & \omega < 0 \end{array} \right.$

当然，我知道题主最感兴趣的是：把相位推迟90度有什么用？
答案是：希尔伯特变换可以用来做解调器，调幅、调频都能解。

如图，蓝色是一个调制信号 $x(t)$ ，其幅度、频率都经过了调制。
绿色是蓝色信号的希尔伯特变换 $y(t)$ 。由于调制波的幅度和瞬时频率变化都很慢（与载波频率相比），其频率成分比较单一（都集中在载波频率附近），所以希尔伯特变换的效果——相位推迟90度——是很明显的。
现在构造信号 $z(t)=x(t)+\text{i}y(t)$ ，我们想办法把这个信号在三维空间中画出来。
下面这张图中有三个轴：时间轴、实轴、虚轴。
时间轴和实轴构成的平面上画出了 $x(t)$ （蓝色），
时间轴和虚轴构成的平面上画出了 $\text{i}y(t)$ （绿色），
三维空间中画出了 $z(t)$ （红色）。
可以看出， $z(t)$ 的样子就像一根粗细、疏密都在变化的弹簧。
在任意一个时刻，我们都可以读出 $z(t)$ 的瞬时幅度和瞬时相位：
瞬时幅度为 $\sqrt{x^2(t) + y^2(t)}$ ，瞬时相位的正切值为 $\frac{y(t)}{x(t)}$ 。
而瞬时相位对时间的导数就是瞬时频率。