【编程之美】不要被阶乘吓到

阶乘(Factorial)是个很有意思的函数，但是不少人都比较怕它，我们来看看两个与阶乘相关的问题。

1) 给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0呢？例如：N=10，N！=3628800，N！的末尾有两个0。

2) 求N！的二进制表示中最低位1的位置。

【分析】

对于问题1有些人碰到这样的题目会想：是不是要完整计算出N!的值？如果溢出怎么办？事实上，如果我们从"哪些数相乘能得到10"这个角度来考虑，问题就变得简单了。

首先考虑，如果N!=K*10^M，且K不能被10整除，那么N!末尾有M个0。再考虑对N!进行质因数分解，N!=2^X*3^Y*5^Z*...，由于10=2*5，所以M只跟X和Z有关，每一对2和5相乘可以得到一个10，于是M=min(X,Z)。不难看出，X大于等于Z，因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多，所以把公式简化为M=Z。

对于问题2，要求的是N！中二进制表示中最低位1的位置。例如：给定N=3，N!=6，那么N!的二进制表示(1010)的最低位1在第二位。

判断最后一个二进制位是否为0：若为0，则将此二进制数右移一位，即为商值；反之，若为1，则说明这个二进制数是奇数，无法被2整除。

所以，这个问题实际上等同于求N!含有质因数2的个数。即答案等于N!含有质因数2的个数加1。

1. 问题1的解法一

要计算Z，最直接的办法，就是计算i(i=1,2,3,...,N)的因式分解中5的指数，然后求和，代码如下：

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3
 4 int numZero(int n)
 5 {
 6     int ret = 0;
 7     for (int i = 1; i <= n; i++)
 8     {
 9         int j = i;
10         while (j % 5 == 0)
11         {
12             ret++;
13             j /= 5;
14         }
15     }
16     return ret;
17 }
18
19 int main(int argc, char *argv[])
20 {
21     int N;
22     while (cin >> N)
23     {
24         cout << numZero(N) << endl;
25     }
26     return 0;
27 }

2. 问题1的解法二

公式：Z = [N/5] + [N/5²] + [N/5³] + ... （不用担心这会是一个无穷的运算，因为总存在一个K，使得5^K>N，[N/5^K] = 0。）

公式中，[N/5]表示不大于5的数中5倍数贡献一个5，[N/5²]表示不大于N的数中5²的倍数再贡献一个5……参考代码如下：

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3
 4 int numZero(int n)
 5 {
 6     int ret = 0;
 7     while (n)
 8     {
 9         ret += n / 5;
10         n /= 5;
11     }
12     return ret;
13 }
14
15 int main(int argc, char *argv[])
16 {
17     int N;
18     while (cin >> N)
19     {
20         cout << numZero(N) << endl;
21     }
22     return 0;
23 }

3. 问题2的解法一

由于N!中含有质因数2的个数，等于[N/2] + [N/4] + [N/8] + [N/16] + …… 则参考代码如下：

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3
 4 int lowestOne(int n)
 5 {
 6     int ret = 1;
 7     while (n)
 8     {
 9         n >>= 1;
10         ret += n;
11     }
12     return ret;
13 }
14
15 int main(int argc, char *argv[])
16 {
17     int N;
18     while (cin >> N)
19     {
20         cout << lowestOne(N) << endl;
21     }
22     return 0;
23 }

4. 问题2的解法二

N！含有质因数2的个数，还等于N减去N的二进制表示中1的数目。我们还可以通过这个规律来求解，代码略。

相关题目

给定整数n，判断它是否为2的方幂。

【解答】参考答案如下：

1 n > 0 && (n & (n-1) == 0)