动态规划——最大连续子序列和

  最大连续子序列和问题如下:

  下面介绍动态规划的做法,复杂度为 O(n)。

  步骤 1:令状态 dp[i] 表示以 A[i] 作为末尾的连续序列的最大和(这里是说 A[i] 必须作为连续序列的末尾)。

  步骤 2:做如下考虑:因为 dp[i] 要求是必须以 A[i] 结尾的连续序列,那么只有两种情况:

    1. 这个最大和的连续序列只有一个元素,即以 A[i] 开始,以 A[i] 结尾。
    2. 这个最大和的连续序列有多个元素,即从前面某处 A[p] 开始 (p<i),一直到 A[i] 结尾。

  对第一种情况,最大和就是 A[i] 本身。

  对第二种情况,最大和是 dp[i-1]+A[i]。

  于是得到状态转移方程

        dp[i] = max{A[i], dp[i-1]+A[i]}

  这个式子只和 i 与 i 之前的元素有关,且边界为 dp[0] = A[0],由此从小到大枚举 i,即可得到整个 dp 数组。接着输出 dp[0],dp[1],...,dp[n-1] 中的最大子即为最大连续子序列的和。

  代码如下:

 1 /*
 2     最大连续子序列和
 3 */
 4
 5 #include <stdio.h>
 6 #include <string.h>
 7 #include <math.h>
 8 #include <stdlib.h>
 9 #include <time.h>
10 #include <stdbool.h>
11
12 #define maxn 10010
13 int A[maxn], dp[maxn];    // A[i] 存放序列,dp[i] 存放以 A[i] 为结尾的连续序列的最大和
14
15 // 求较大值
16 int max(int a, int b) {
17     return a>b ? a : b;
18 }
19
20 int main() {
21     int n, i, k;
22     scanf("%d", &n);
23     for(i=0; i<n; ++i) {        // 输入序列
24         scanf("%d", &A[i]);
25     }
26     dp[0] = A[0];                // 边界
27     for(i=1; i<n; ++i) {
28         // 状态转移方程
29         dp[i] = max(A[i], dp[i-1] + A[i]);
30     }
31     // 求最大连续子序列和
32     k = dp[0];
33     for(i=1; i<n; ++i) {
34         if(dp[i] > k) {
35             k = dp[i];
36         }
37     }
38     printf("%d\n", k);        // 输出
39
40     return 0;
41 }

  此处顺便介绍无后效性的概念。状态的无后效性是指:当前状态记录了历史信息,一旦当前状态确定,就不会再改变,且未来的决策只能在已有的一个或若干个状态的基础上进行,历史信息只能通过已有的状态去影响未来的决策。针对本节问题来说,每次计算状态 dp[i],都只会涉及 dp[i-1],而不直接用到 dp[i-1] 蕴含的历史消息。

原文地址:https://www.cnblogs.com/coderJiebao/p/Algorithmofnotes27.html

时间: 2024-10-29 20:36:33

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