之前已经做过几个分块的水题，导致nmphy居然口出狂言：“高中学过，简单”。（现在nmphy收回他的话，并且跪着写下这篇总结）
前言：
- 由于数论模运算中常常遇到一些问题：比如long long溢出，需要把乘法改为快速乘法（和快速幂是一个道理）。
- 注意边界，0，1，什么的。
- 运用函数时防止需要精度误差，如sqrt，log2()等等（因为这个，昨天的CF第二题第48个点就被hack了，可以去感受CF456B一下）
- 。。。
α，组合数取模： 组合数取模根据n,m,p规模不同，分别有不同的解决方法。
- 数据小的就不说了，暴力也行，唯一分解也o98k。
- n,m <= 10^100，p <= 10^5，p是素数 。Lucas定理
- n,m <= 10^100，p <= 10^5，p是合数，且分解后因子不太多。 Lucas定理+中国剩余定理。
- n,m <= 10^100，p <= 10^9, p是素数，好像凉凉。
第四个这怎么搞呢？这个时候……貌似跟3差不多。但是……需注意一个问题， c(n % p,m % p)我们在做Lucas 定理的时候需要预处理（得到阶乘），此时P也很大， 预处理不出来。方法：分块打表。只保存sqrt(p)个 n!的值，c(n,m) = n! / (m! * (n – m)!)，P是素数，可以直接乘法逆元。所以时间就是 logP * sqrt(P)。具体的博主日后补充。（毕竟nmphy也没写过）
β，阶乘除阶乘：
1：（n! / m!）% p 怎么求， n,m <= 10^10，p <= 10^6，p是素数 。
显然不能用Lucas，毕竟不是组合数。再看n,m是如此的大，怎么搞？ 这个我们转化成乘法逆元来做
- ) 令 n! = (p^a) * u, m! = (p^b) * w
- ) 显然a >= b。 若a > b 此时 n! / m! 是p的倍数。 那么余数为0。
- ) 若a == b,此时我们只需要算u / w。由于w与p互质，u / w可以直接算u*w的逆元。
- ) 现在开始讨论如何计算u/w n! = 1 * 2 * … * (p – 1) * 1p * (p + 1) * (p + 2) * … (2p – 1) * 2p * … (kp + 1) * (kp + 2) * .. (kp – 1) * kp * … ((k +1)p + 1) * ((k + 1)p + 2) * .. ((k +1)p + t)
其中，K = n/ p, t = n!% p
注意到 1和(p + 1) , 2和(p+2)…都是同余的。 所以我们的式子可以化成： ((p – 1)!)^k * t! * k! * p^k，k!哪里出现的？
注意到 1p,2p..kp P^k我们提取出来，(p – 1)!和t!可以预处理，现在需要处理的是k!即(n/p)!，所以我们现在问 题转化成计算k!，那么递归下去即可。
2： 现在讲讲n,m <= 10^9，p <= 10^6, p不是素数怎么做
首先，我们应该把p分解成pi^ci的形式。 直奔主题，讨论如何把n!分解掉。
首先，我们把1..n中p的倍数提取出来，那么由于mod p^c. 所以提取后会有若干段循环：1 * 2 * … * (p – 1) * (p + 1) * (p + 2) *… *(p^c – 1) 令k = n / (p^c), t = n % (p^c),kk = n / p N!= P[p^c – 1]^k * P[t] * p^kk * kk! 注意这里的P[p^c-1]是没有把p的倍数乘进来。
同上,只要递归计算kk!（相关题目：spoj sequence）
γ，高次剩余问题：
a^x = b(mod p)
- 知道a,x,p，求b (100%有解)
- 知道a,b,p，求x (有可能无解)
- 知道x,b,p，求a (依然有可能无解)
- 知道a,x,p，求某区间范围内的p(持续有可能无解)
对2,3类问题我们还可以分别进行升级，求解的个数…） 从1到4，求解的难度是越来越大的.
这里只讲第二个和分块的关系：BSGS算法。
BSGS算法（北上广深？拔山盖世？）: （参考，http://blog.csdn.net/Clove_unique/article/details/50740412）
先看假如暴搜，其枚举范围：
根据费马小定理：a^(p−1)≡1(modp)。
如果x已经枚举到了p-1了，继续枚举的话就会产生循环。
所以，在暴搜中x的枚举范围就是0……p-1。
试想分块如何优化暴搜：
我们想一想可不可以用分块来解决枚举的x。
把x分成p−1−−−−√分别枚举行不行？
设m=p−1−−−−√，y=a∗m-b，这样枚举a和b就相当于分块枚举了。
那么现在就变成了x^(a∗m-b)≡z(modp)
把a和b分别放在两边：x^b*z≡x^(a∗m)(modp)
我们可以发现左边的x^b最多只有m个，完全可以预处理出来放进hash里面。
第一代丑代码：//4000多ms，主要是用map来哈希，根本没有体现到BSGS以空间换时间的优势。
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
ll a,b,p;
map<ll,int>mp;
void solve()
{
if(a%p==0) {
printf("no solution\n");return ;
} b%=p; a%=p;
ll tmp=b;
ll block=sqrt(p-1)+1;//向上取整
if(mp[tmp]==0) mp[tmp]=0;
for(int j=1;j<=block;j++){
tmp=tmp*a%p;
mp[tmp]=j;
}
ll tmpa=1,m=block;
while(m){
if(m&1) tmpa=tmpa*a%p;
a=a*a%p;
m/=2;
}
ll tmpb=1;
for(int i=1;i<=block;i++){
tmpb=tmpb*tmpa%p;
if(mp[tmpb]!=0){
printf("%lld\n",((i*block-mp[tmpb])%p+p)%p);
return ;
}
}
printf("no solution\n");
return ;
}
int main()
{
while(~scanf("%lld%lld%lld",&p,&a,&b)){
mp.clear();
solve();
} return 0;
}
修进后的模板代码：//30ms
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
const int maxn=76543;
int To[maxn],Laxt[maxn],Next[maxn],id[maxn],cnt;
void insert(int x,int y){
int k=x%maxn;
Next[++cnt]=Laxt[k];
Laxt[k]=cnt;
id[cnt]=y;
To[cnt]=x;
}
int find(int x){
int k=x%maxn;
for(int i=Laxt[k];i;i=Next[i]){
if(To[i]==x) return id[i];
} return -1;
}
int BSGS(int a,int b,int p){
memset(Laxt,0,sizeof(Laxt));cnt=0;
if(a%p==0||b%p==0) return -1;
if(b==1) return 0;
int m=sqrt(1.0*p)+1,j;
ll x=1,np=1;
for(int i=0;i<m;i++,np=np*a%p) insert(np*b%p,i);
for(ll i=m;;i+=m){
if((j=find(x=x*np%p))!=-1) return i-j;
if(i>p) break;
}
return -1;
}
int main()
{
int a,b,p;
while(~scanf("%d%d%d",&p,&a,&b)){
int ans=BSGS(a,b,p);
if(ans==-1) printf("no solution\n");
else printf("%d\n",ans);
} return 0;
}
先放道题在这里，https://vjudge.net/problem/CodeForces-830C ，之前遇到的，不知道和这个有关没，等我肝完博客在看看。
【参考】： 成都七中 2013级13班 王 迪 《信息学中的分块思想》
原文地址：https://www.cnblogs.com/hua-dong/p/8213941.html