平均数的误差
上一篇文章介绍了一个机会过程抽得数之和的标准误差SE是：
在从装有标上数字的卡片的盒中作随机有放回的抽取时，抽得数之和的标准误差是：
SquareRoot ( 抽取次数 ) ×（盒子的SD）
若要求出抽得数的平均数的SE也很简单：
抽得的平均数的SE等于
它们的和的SE / 抽取次数 = 盒子的SD / SquareRoot ( 抽取次数 )
通过它可以估计抽得的平均数的变异性。注意，有时我们是不知道盒子的SD的，可以用样本的SD来近似代替。
例如，对某砝码的质量做100次测量，这些测量的平均数是（1kg + 715μg）， SD是 80μg，给出如下两个问题：
（1）单次测量值可能偏离确切重量多少？
（2）所有100次测量的平均数可能偏离确切重量多少？
对问题（1）的回答是 80μg。因为SD衡量的就是平均而言单次测量相对于均值的偏离程度（这里认为 均值≈真值）。
对问题（2）的回答是 8μg。因为 平均数的SE = 盒子的SD / SquareRoot ( 抽取次数 ) = 80 / SquareRoot(100) = 8。
最终，测量人员可以说：
砝码的质量以 68% 的置信度落在这个区间内：（1kg + 715μg）± 8μg
或
砝码的质量以 95% 的置信度落在这个区间内：（1kg + 715μg）± 16μg
而“置信”（Confidence）这个词也提醒我们：
机会存在于测量过程中，而不是在被测量的事物中
可以这样理解这句话：
砝码的质量是一个客观存在的常量，不因测量手段的不同而变化，并且误差是在测量过程中被引入的。
机会模型
如果一个随机场合能够抽象成从一个盒子中抽取的过程，我们就可以应用频率理论对其进行研究。这个盒子模型也被称为机会模型或随机模型。
机会模型有它的适用范围：
如果整个期间数据呈现一定趋势或规律模式，盒子模型不能应用。
下表给出中国在2004-2013年的城市化率：
这十年间中国城市化率稳定的上升，它不能被抽象为盒子模型。从盒子中抽取的数有时上升，有时下降。
举个散点图的例子：
如果把每个点看做一次抽取，x 值代表抽取的编号，y 值代表抽到的值，可以看出散点具有明显的规律性分布，也即 y 与 x 具有相关性。例如，一国的城市化率与年份具有相关性、某地的月平均气温与月份具有相关性，此时用回归模型分析更合理。
一个盒子模型的统计数据看上去应该是这样的：
或者是这样的
显然，每次抽取的值的概率分布都是一样的，并没有因为是第1次抽取还是第100次抽取而有所不同。
Z-检验
最好通过例子来说明，这是《统计学》书中的一道习题：
问：
一个公司最近采用了弹性时间工作制，希望该制度能提高员工的出勤率。为了检验效果，管理层简单随机地抽取了100名员工作为样本，并对他们进行了跟踪。一年下来，这些雇员平均缺勤 5.5 天，SD是 2.9 天。已知在弹性时间工作制实施之前员工平均缺勤 6.3 天，这能否说明该制度有效减少了缺勤率？还是这个抽样数据仅仅是一个机会变异？
答：
假设（1）：样本平均缺勤率的减少由机会变异造成。
假设（2）：该制度有效减少了缺勤率。
把假设（1）称为【原假设】，把假设（2）称为【备选假设】。
如果将全公司员工的出勤情况抽象成一个盒子模型，那么原假设和备选假设都是对盒子模型的一种描述。他们是互斥的。
把 6.3 天称为【期望值】，把 5.5 天称为【观察值】
缺勤平均数的SE = 盒子SD / SquareRoot(抽取次数) = 2.9 / 10 = 0.29
检验统计常量：
Z = （观察值 - 期望值）/ SE = （5.5 - 6.3） / 0.29 = -2.76
该公式说明观察值相对于期望值向左偏移了 2.76 个 SE。
如果原假设正确，这样程度的偏移发生的概率约为 0.3% （通过正态表可查得）。我们认为这个概率太小了，所以原假设是错误的，也即，新制度确实降低了缺勤率，它明确地反映在抽样数据上，并且这不是一个机会变异。
答毕。
上题中求得的概率 0.3% 就是统计结果的【显著性】，用 P 来表示。
若 P < 5%，我们称此结果为统计显著。
若 P < 1%，我们称此结果为高度显著。
不同的应用场合下，拒绝原假设的触发条件不同，可以是统计显著，也可以是高度显著，甚至可以是任何规定的条件。
上述检验过程是单样本检验，样本从同一个盒子抽取。如果两个相互独立且适当大的简单随机样本取自两个分开的盒子，对它们平均数之间差异的统计量做检验称为双样本Z-检验。
此时原假设称这两个盒子有相同的平均数，而备选假设称两个盒子均值的差异是显著的。合适的检验统计量为：
Z = （均值1 - 均值2）/ 差的SE
而两个独立随机变量的差的标准误差是 SquareRoot ( a^2 + b^2 )，其中 a 是第一个量的 SE，b 是第二个量的 SE。
其他与单样本检验相同。
附，标准正态表：
t-检验
当抽样次数太少时（比如小于25次），Z检验将是不精确的，此时使用 t 检验。
使用 t 检验可分为 3 个步骤：
（1）测量值较少时，用其 SD 去估计盒子的 SD 不够精确，可以对测量值的 SD 做一个偏大的修正：
盒子 SD ≈ SquareRoot [ 抽样个数 / (抽样个数 - 1) ] × 测量值的SD
（2）确定统计的自由度：
自由度 = 抽样个数 - 1
根据自由度选定 t 曲线。
（3）计算 P 值。
这一块 t 检验与 Z 检验是一样的。
t = （观察值 - 期望值）/ SE
根据检验统计量 t 在对应的 t 曲线上查表得到 P。
t-分布可以理解成是对正态分布的近似，自由度越大就越接近正态分布。
（上图中蓝色曲线为正态分布）。
附，t分布表：
总结
- 本文所有的讨论都是基于机会模型（盒子模型），有规律的统计数据不适合抽象为机会模型。
- Z-检验 与 t-检验针对抽样数据的均值做显著性检验，能够反映出一些趋势性的信息，为决策提供支持。
- 本文讨论的显著性检验都是单尾（Single Tail）检验，它反映均值偏向某一方向的趋势大小。有时均值同时可能从两个方向偏离期望值，既可以大于期望值，也可以小于期望值。例如，对于弹性时间工作问题，修改备选假设为：新的制度可能降低平均缺勤率，也可能提高了它。此时 Z = -2.76 或 Z = 2.76 都将是高度显著的。这就是双尾检验。