杭电2048错排

错排公式是f(n)=(n-1)(f(n-1)+f(n-2)) 不过还是稍稍的分析一下这个入门题 就像一个将信件放入不同信箱的例子, 我们先考虑前n-1的情况 1.前n-1个信件全部都放错了,那么我们考虑n个的情况时,只需要将第N个信件与前n-1个信件的任意一

个做一个交换就ok了,这个结果是(n-1)*f(n-1) 2.然后再考虑前n-1个并没有完全放错,那么要想使第n个信封加入时和和其中的某一个信封进行交换可

以实现n个信件全部放错的情况,那么必须前n-1个当中有且只有一个信件是放正确的,就是说前n-2个是

放错误的,也就是f(n-2),然后就很明显了,只需要将第n个信件和那个正确的交换一下就ok了,而那一

个正确的信件有n-1中不同的选择方法,所以结果就是(n-1)*f(n-2)

递推题    N张票的所有排列可能自然是Ann = N!种排列方式 现在的问题就是N张票的错排方式有几种。 首先我们考虑,如果前面N-1个人拿的都不是自己的票,即前N-1个人满足错排,现在又来了一个人,他

手里拿的是自己的票。 只要他把自己的票与其他N-1个人中的任意一个交换,就可以满足N个人的错排。这时有N-1种方法。   另外,我们考虑,如果前N-1个人不满足错排,而第N个人把自己的票与其中一个人交换后恰好满足错排

。 这种情况发生在原先N-1人中,N-2个人满足错排,有且仅有一个人拿的是自己的票,而第N个人恰好与他

做了交换,这时候就满足了错排。 因为前N-1个人中,每个人都有机会拿着自己的票。所以有N-1种交换的可能。   综上所述:f(n) = (i - 1) * [f(n - 1) + f(n - 2)]

递推的方法推导错排公式

当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就

表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.

第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;

第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k

个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有M(n-2)种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这

n-1个元素,有M(n-1)种方法;

综上得到

M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]

原文地址:错排公式作者:stven_king 转载:http://blog.163.com/seeker_forever/blog/static/163238938201042211595207/

颜书先生《“装错信封问题”的数学模型与求解》一文(见《数学通报》 2000 年第 6 期 p.35 ),给出了该经典问题的一个模型和求解公式:

编号为 1 , 2 ,……, n 的 n 个元素排成一列,若每个元素所处位置的序号都与它的编号不同,则称这个排列为 n 个不同元素的一个错排。记 n 个不同元素的错排总数为 f(n) ,则

f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!]( 1 )

本文从另一角度对这个问题进行一点讨论。

1. 一个简单的递推公式

n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成:

第一步,“错排” 1 号元素(将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一),有 n - 1 种方法。

第二步,“错排”其余 n - 1 个元素,按如下顺序进行。视第一步的结果,若 1 号元素落在第 k 个位置,第二步就先把 k 号元素“错排”好, k 号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生:( 1 ) k 号元素排在第 1 个位置,留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”,有 f(n -2) 种方法;( 2 ) k 号元素不排第 1 个位置,这时可将第 1 个位置“看成”第 k 个位置,于是形成(包括 k 号元素在内的) n - 1 个元素的“错排”,有 f(n - 1) 种方法。据加法原理,完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。

根据乘法原理, n 个不同元素的错排种数

f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。

再次补充:

某人写了n封信和n个信封,如果所有的信都装错了信封。求所有的信都装错信封,共有多少种不同情况。

当N=1和2时,易得解~,假设F(N-1)和F(N-2)已经得到,重点分析下面的情况:

1.当有N封信的时候,前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装。

2.前者,对于每一种错装,可以从N-1封信中任意取一封和第 N封错装,故=F(N-1) * (N-1)。

3.后者简单,只能是没装错的那封信和第N封信交换信封,没装错的那封信可以是前面N-1封信中的任意

一个,故= F(N-2) * (N-1)。

基本形式:d[1]=0;   d[2]=1 递归式:d[n]= (n-1)*( d[n-1] + d[n-2])

这就是著名的错排公式

时间: 2024-10-13 03:38:48

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