1.
一个凸$n$边型,任意三条对角线不共点,问所有的对角线把这个多边形内部分成了多少个区域?
解答:
去边法,现将这个多边形的对角线一条一条的去掉.
假设第一条对角线与其他内部对角线有$k_{1}$个交点,那么去掉它这个多边形内部减少$k_{1}+1$个;再去掉第二条，内部区域减少$k_{2}+1$个
去掉第三条，内部区域减少$k_{3}+1$个,$\cdots$,去掉第$\frac{n(n-3)}{2}$个,减少$k_{\frac{n(n-3)}{2}}+1$个.故多边形内部区域数为
N=1+∑i=1
n(n?3)
2
(k
i
+1)=1+n(n?3)
2
+∑
i=1
n(n?3)
2
k
i
每个交点对应两条对角线,也就对应了四个顶点,故
∑i=1
n(n?3)
2
k
i
=C
4
n
2. 三个角$A,B,C$满足$\cos A+\cos B+\cos C=\sin
A+\sin B+\sin C=0$.
证明：$\cos^{2}A+\cos^{2}B+\cos^{2}C$等于常数,并求出这个常数.(提示：利用复数.)
3. 记$Q_{1}=\{Q|x \geq 1\}$,设函数$f:Q_{1}
\rightarrow R$对任意$x,y\in Q_{1}$满足不等式
|f(x+y)?f(x)?f(y)|<ε
这里$\varepsilon$是某个大于$0$的数.证明:存在$q\in
R,$使得任意$x\in Q_{1}$都有
|f(x)x
?q|<2ε
4. 证明不等式
nr+1
?(n?1)
r+1
r+1
<n
r
<(n+1)
r+1
?n
r+1
r+1
时间： 2024-12-24 03:46:49