图的最小生成树（二）—Prim算法

上一篇中写了图的最小生成树求法一——Kruskal算法 http://blog.csdn.net/wtyvhreal/article/details/43526695

这一篇中用另外一种方法来求解图的最小生成树，Prim算法。

图中随便选一个顶点开始，看看这个顶点有哪些边，在它的边中找一条最短的。1号有1-2,1-3，其中1-2短，选择1-2.通过它把1和2连接在一起。接下来开始枚举1和2号顶点所有的边，看看哪些边可以连接到没有被选中的顶点，并且边越短越好。

Prim算法的基本思路：

将图中的所有的顶点分为两类：树顶点（已经被选入生成树的顶点）和非树顶点（还未被选入生成树的顶点）。首先选择任意一个顶点加入生成树，接下来要找出一条边添加到生成树，这需要枚举每一个树顶点到每一个非树顶点所有的边，然后找到最短边加入到生成树。依次，重复操作n-1次，直到将所有顶点都加入生成树中。

Prim算法的流程：

输入数据：

运行结果：

时间复杂度O(N^2)，如果用“堆”，每次选边的时间复杂度是O(logM)，然后用邻接表来存储图的话，整个算法的时间复杂度会降低到O(MlogN)。

如果所有的边权都不相等，那么最小生成树是唯一的。

Kruskal算法是一步步将森林中的树进行合并，而Prim算法则是通过每次增加一条边来建立一棵树。

Kruskal算法更适用于稀疏图（找边），没有使用堆优化的Prim算法适用于稠密图（找点），使用了堆优化的Prim算法则更适用于稀疏图。