弗洛伊德算法介绍
和Dijkstra算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。
基本思想
通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引入一个矩阵S，矩阵S中的元素a[i][j]表示顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。
假设图G中顶点个数为N，则需要对矩阵S进行N次更新。初始时，矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞。 接下来开始，对矩阵S进行N次更新。第1次更新时，如果"a[i][j]的距离" > "a[i][0]+a[0][j]"(a[i][0]+a[0][j]表示"i与j之间经过第1个顶点的距离")，则更新a[i][j]为"a[i][0]+a[0][j]"。 同理，第k次更新时，如果"a[i][j]的距离" > "a[i][k]+a[k][j]"，则更新a[i][j]为"a[i][k]+a[k][j]"。更新N次之后，操作完成！
单纯的看上面的理论可能比较难以理解，下面通过实例来对该算法进行说明。
弗洛伊德算法图解
以上图G4为例，来对弗洛伊德进行算法演示。
初始状态：S是记录各个顶点间最短路径的矩阵。
第1步：初始化S。
矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞。实际上，就是将图的原始矩阵复制到S中。
注:a[i][j]表示矩阵S中顶点i(第i个顶点)到顶点j(第j个顶点)的距离。
第2步：以顶点A(第1个顶点)为中介点，若a[i][j] > a[i][0]+a[0][j]，则设置a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。
以顶点a[1]6，上一步操作之后，a[1][6]=∞；而将A作为中介点时，(B,A)=12，(A,G)=14，因此B和G之间的距离可以更新为26。
同理，依次将顶点B,C,D,E,F,G作为中介点，并更新a[i][j]的大小。
弗洛伊德算法的代码说明
以"邻接矩阵"为例对弗洛伊德算法进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面会给出相应的源码。
1. 基本定义
public class MatrixUDG {
private int mEdgNum; // 边的数量
private char[] mVexs; // 顶点集合
private int[][] mMatrix; // 邻接矩阵
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; // 最大值
...
}
MatrixUDG是邻接矩阵对应的结构体。mVexs用于保存顶点，mEdgNum用于保存边数，mMatrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，mMatrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即mVexs[i])"和"顶点j(即mVexs[j])"是邻接点；mMatrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。
2. 弗洛伊德算法
/*
* floyd最短路径。
* 即，统计图中各个顶点间的最短路径。
*
* 参数说明：
* path -- 路径。path[i][j]=k表示，"顶点i"到"顶点j"的最短路径会经过顶点k。
* dist -- 长度数组。即，dist[i][j]=sum表示，"顶点i"到"顶点j"的最短路径的长度是sum。
*/
public void floyd(int[][] path, int[][] dist) {
// 初始化
for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < mVexs.length; j++) {
dist[i][j] = mMatrix[i][j]; // "顶点i"到"顶点j"的路径长度为"i到j的权值"。
path[i][j] = j; // "顶点i"到"顶点j"的最短路径是经过顶点j。
}
}
// 计算最短路径
for (int k = 0; k < mVexs.length; k++) {
for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < mVexs.length; j++) {
// 如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短，则更新dist[i][j]和path[i][j]
int tmp = (dist[i][k]==INF || dist[k][j]==INF) ? INF : (dist[i][k] + dist[k][j]);
if (dist[i][j] > tmp) {
// "i到j最短路径"对应的值设，为更小的一个(即经过k)
dist[i][j] = tmp;
// "i到j最短路径"对应的路径，经过k
path[i][j] = path[i][k];
}
}
}
}
// 打印floyd最短路径的结果
System.out.printf("floyd: \n");
for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < mVexs.length; j++)
System.out.printf("%2d ", dist[i][j]);
System.out.printf("\n");
}
}