机器学习之决策树（一）

1、算法介绍
决策树是一种基本的分类和回归方法，决策树模型呈树形结构，在分类问题中，表示基于特征对实例进行分类的过程。决策树学习通常包括三个步骤：特征选择、决策树的生成和决策树的修剪。决策树的本质是从训练数据集中归纳出一组分类规则。本文主要是对决策树的ID3算法的介绍，后文会介绍C4.5和CART算法。

2、算法优缺点
优点：计算复杂度不高，结果易于理解，对于中间值的缺失不敏感，可以处理不相关特征。
缺点：可能会产生过拟合问题。
适用于标称型（ID3和C4.5）和数值型（CART算法）

3、特征选择
熵：
设X是一个取有限个值的离散随机变量，其概率分布为：

则随机变量X的熵定义为：

条件熵：
条件熵H(Y|X)：表示在己知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性，定义为X给定条件下Y的条件概率分布的熵对X的数学期望：

信息增益：
信息增益:特征A对训练数据集D的信息增益，g(D,A), 定义为集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(D|A)之差，即g(D,A)=H(D)-H(D|A)
因此，选择信息增益最优，也即是信息增益最大的特征作为节点，然后再循环构建决策树。

4、数学例子

首先计算熵：
样本总共有15条记录，其中不买的有5条记录，买的有10条记录。
所以H(D) = -5/15log2(5/15)-10/15log2(10/15) = 0.92
再计算条件熵：
年龄：青年有5条记录，其中不买的为3条，买的记录为2条
   中年有4条记录，其中不买的为0条，买的记录为4条
   老年有6条记录，其中不买的为2条，买的记录为4条
   则条件熵为5/15*(-3/5*log(3/5,2)-2/5*log(2/5,2)) + 4/15*(0 - 4/4*log(4/4,2))    + 6/15*(-2/6*log(2/6,2)-4/6*log(4/6,2)) = 0.69
   所以年龄的信息增益为0.23
当特征值取收入，学生，信誉时，信息增益分别为：0.03，0.17，0.03
故选择年龄为第一次迭代的节点，然后再重复上述步骤，最后完成树的构建。

5、ID3代码实现

from sklearn.model_selection import train_test_split
import math

def getData():
    #获取数据集，数据来自uci的mushroom.data
    data_x = [];data_y = [];train = []
    with open(‘mushroom.data‘) as f:
        for line in f:
            line = line.strip().split(‘,‘)
            data_x.append(line[1:])
            data_y.append(line[0])
    train_x,test_x,train_y,test_y = train_test_split(data_x,data_y,test_size=0.8,random_state=0)
    for x,y in zip(train_x,train_y):
        x.append(y)
        train.append(x)
    return train,test_x,test_y

def calI(prob):
    ‘‘‘封装对数计算公式‘‘‘
    I = 0.0
    for p in prob:
        if p != 0:  # p=0时不能计算log
            I += -p * math.log(p, 2)
    return I

def calInfo(dataSet):
    ‘‘‘计算信息熵‘‘‘
    values = [value[-1] for value in dataSet]
    uniqueVal = set(values)
    prob = []
    for val in uniqueVal:
        #计算p
        prob.append(values.count(val) / float(len(values)))
    return calI(prob)

def splitDataSet(dataSet, axis, value):
    #划分数据集，三个参数分别是待划分的数据集，划分数据集的体征，需要返回的值
    retDataSet = []
    for featVec in dataSet:
        if featVec[axis] == value:
            reducedFeatVec = featVec[:axis]
            reducedFeatVec.extend(featVec[axis+1:])
            retDataSet.append(reducedFeatVec)#把符合返回的值那些返回（axis那一列不添加）
    return retDataSet

def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):
    numFeatures = len(dataSet[0]) - 1      #计算特征的数目
    baseEntropy = calInfo(dataSet)   #香农熵
    bestInfoGain = 0.0                      #最好的信息增益
    bestFeature = -1                        #最好的信息增益对应的特征
    for i in range(numFeatures):
        featList = [example[i] for example in dataSet]#获得该列所可能取的值
        uniqueVals = set(featList)       #去重
        newEntropy = 0.0                #条件熵
        for value in uniqueVals:
            subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)#划分数据集
            prob = len(subDataSet)/float(len(dataSet))
            newEntropy += prob * calInfo(subDataSet)
        infoGain = baseEntropy - newEntropy     #计算信息增益
        if (infoGain > bestInfoGain):       #选择最好的信息增益
            bestInfoGain = infoGain
            bestFeature = i
    return bestFeature                      #返回列

def majorityCnt(classList):
    classCount={}
    for vote in classList:
        if vote not in classCount.keys(): classCount[vote] = 0
        classCount[vote] += 1
    sortedClassCount = sorted(classCount.items(), key=lambda x:x[1], reverse=True)
    return sortedClassCount[0][0]

def createTree(dataSet,labels):
    #迭代构建决策树
    classList = [example[-1] for example in dataSet]
    if classList.count(classList[0]) == len(classList):
        return classList[0]#类别完全相同停止划分
    if len(dataSet[0]) == 1: #遍历完所有特征返回次数最多的
        return majorityCnt(classList)
    bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet)
    bestFeatLabel = labels[bestFeat]
    myTree = {bestFeatLabel:{}}
    del(labels[bestFeat])
    featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet]
    uniqueVals = set(featValues)
    for value in uniqueVals:
        subLabels = labels[:]
        myTree[bestFeatLabel][value] = createTree(splitDataSet(dataSet, bestFeat, value),subLabels)
    return myTree

def classify(inputTree,featLabels,testVec):
    firstStr = list(inputTree.keys())[0]
    secondDict = inputTree[firstStr]
    featIndex = featLabels.index(firstStr)
    key = testVec[featIndex]
    valueOfFeat = secondDict[key]
    if isinstance(valueOfFeat, dict):
        classLabel = classify(valueOfFeat, featLabels, testVec)
    else: classLabel = valueOfFeat
    return classLabel

def correct_rate(test_y,predict_y):
    #返回测试集的正确率
    length = len(test_y)
    score = 0
    for num in range(length):
        if test_y[num] == predict_y[num]:
            score += 1
    rate = str((score/float(length)) *100) + ‘%‘
    return rate

if __name__ == ‘__main__‘:
    train,test_x,test_y = getData()
    labels = [‘cap-shape‘,‘cap-surface‘,‘cap-color‘,‘bruises‘,‘odor‘,‘gill-attachment‘,‘gill-spacing‘,‘gill-size‘,‘gill-color‘,‘stalk-shape‘,‘stalk-root‘,‘stalk-surface-above-ring‘,‘stalk-surface-below-ring‘,‘stalk-color-above-ring‘,‘stalk-color-below-ring‘,‘veil-type‘,‘veil-color‘,‘ring-number‘,‘ring-type‘,‘spore-print-color‘,‘population‘,‘habitat‘]
    label = labels[:]
    mytree = createTree(train, labels)
    predict_y = []
    for x in test_x:
        y = classify(mytree,label,x)
        predict_y.append(y)
    print(‘正确率：‘,correct_rate(test_y,predict_y))

博主在做交叉验证时出了问题，探索了很久，发现原因在于一开始选的数据集太过单一，导致树的构建不完整，在验证模型正确率时出现错误，因此改用了mushroom.data，此数据集在uci网站可以下载，共有8124个记录。

参考书籍：
《统计学习方法》--李航
《机器学习实战》--Peter

原文地址：http://blog.51cto.com/14065757/2342082