[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限---Jordan 不等式的应用)

证明: 当 $\lm<1$ 时, $\dps{\lim_{R\to+\infty} R^\lm\int_0^{\pi/2} e^{-R\sin\tt}\rd \tt=0}$.

证明: 由 $$\beex \bea 0\leq R^\lm\int_0^{\pi/2} e^{-R\sin\tt}\rd \tt &\leq R^\lm \int_0^{\pi/2} e^{-R \frac{2}{\pi}\tt}\rd \tt\\ &=R^\lm \sex{-\frac{\pi}{2R}e^{-R\frac{2}{\pi}\tt}}^{\frac{\pi}{2}}_0\\ &=R^\lm \cfrac{\pi}{2R} \sex{1-e^{-R}}\\ &\leq \cfrac{\pi}{2} R^{\lm-1} \eea \eeex$$ 即知结论.

时间： 2024-08-01 03:00:29

[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限---Jordan 不等式的应用)的相关文章

再寄小读者之数学篇[2014.07.01-2014.12.31]

[再寄小读者之数学篇](2014-07-09 多项式的辗转相除与线性变换) 设 $V$ 是由次数不超过 $4$ 的一切实系数一元多项式组成的向量空间. 对于 $V$ 上的任意多项式 $f(x)$, 以 $x^2-1$ 除 $f(x)$ 所得的商式及余式分别为 $q(x)$ 和 $r(x)$, 记 $$\bex f(x)=q(x)(x^2-1)+r(x). \eex$$ 设 $\scrA$ 是 $V$ 到 $V$ 的映射, 使得 $$\bex \scrA(f(x))=r(x). \eex$$ 试证

再寄小读者之数学篇[2014.01.01-2014.06.30]

[再寄小读者之数学篇](2014-06-28 证明级数几乎处处收敛) 设 $f\in L(\bbR)$, 试证: $$\bex \vsm{n}f(n^2x) \eex$$ 在 $\bbR$ 上几乎处处收敛到一 Lebesgue 函数. [再寄小读者之数学篇](2014-06-27 向量公式: The Hall term) $$\bex \n\cdot{\bf b}=0\ra \n\times [(\n\times {\bf b})\times {\bf b}]=\n\times [\n\cdot

[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 积分号下求导)

设 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 定义 $\dps{F(x)=\int_a^b f(x+t)\cos t\rd t}$, $a\leq x\leq b$. (1) 证明: $F$ 在 $[a,b]$ 上可导; (2) 计算 $F'(x)$. 解答: 由 $$\bex F(x)=\int_{x+a}^{x+b} f(s)\cos (s-x)\rd t \eex$$ 即知 $$\beex \bea F'(x)&=\int_{x+a}^{x+b} f(s)\sin (s-x)\

[再寄小读者之数学篇](2014-06-14 [四川师范大学 2014 年数学分析考研试题] 积分不等式)

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有连续的二阶导数且 $f(0)=f(1)=0$, 但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不恒等于零. 证明: $$\bex |f(x)|\leq \cfrac{1}{4}\int_0^1 |f''(x)|\rd x,\quad \forall\ x\in [0,1]. \eex$$ [再寄小读者之数学篇](2014-06-14 [四川师范大学 2014 年数学分析考研试题] 积分不等式),布布扣,bubuko.com

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Bernstein's inequality)

$$\bex \supp \hat u\subset \sed{2^{j-2}\leq |\xi|\leq 2^j} \ra \cfrac{1}{C}2^{jk}\sen{f}_{L^p} \leq \sen{D^k f}_{L^p}\leq C2^{jk} \sen{f}_{L^p}; \eex$$ $$\bex \supp \hat u\subset \sed{|\xi|\leq 2^j} \ra \sen{f}_{L^q}\leq C2^{jn\sex{\frac{1}{p}-\frac{

[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Besov space estimates)

(1) $$\bex \sen{D^k f}_{\dot B^s_{p,q}}\sim \sen{f}_{\dot B^{s+k}_{p,q}}. \eex$$ (2) $$\beex \bea &\quad s>0,\ q\in [1,\infty],\quad p_1,r_1\in [1,\infty],\ \cfrac{1}{p}=\cfrac{1}{p_1}+\cfrac{1}{p_2}=\cfrac{1}{r_1}+\cfrac{1}{r_2}\\ &\ra \sen{fg

[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Logarithmical Sobolev inequality using BMO space)

$$\bex q>3\ra \sen{\n f}_{L^\infty} \leq C(q)\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2}\sex{e+\sen{\n f}_{W^{1,q}}+\sen{f}_{L^\infty}} }. \eex$$ $$\bex m\geq 3\ra \sen{\n f}_{L^\infty}\leq C\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2} \sex{1+\sen{\n f}_{H^

[再寄小读者之数学篇](2014-06-27 向量公式: The Hall term)

$$\bex \n\cdot{\bf b}=0\ra \n\times [(\n\times {\bf b})\times {\bf b}]=\n\times [\n\cdot ({\bf b}\otimes {\bf b})]. \eex$$ 证明: 右端第一个分量为 $$\beex \bea &\quad \sum_i \p_2(\p_i(b_ib_3))-\p_3(\p_i(b_ib_2))\\ &=\sum_i \p_2(b_i\p_ib_3)-\p_3(b_i\p_ib_2)\\

[再寄小读者之数学篇](2014-06-03 计算两个无穷级数)

(from zhangwuji) \bex \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^3+2n+1}{(n^4+n^2+1)n!},\quad \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(n^4+n^2+1)n!}. \eex 解答: (by wangsb) \beex \bea \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^3+2n+1}{(n^4+n^2+1)n!} =&\sum\limits_{n=0}^{\

[再寄小读者之数学篇](2014-05-28 Ladyzhenskaya 不等式)

f∈C∞c(R2)?∥f∥L4≤2√∥f∥1/2L2∥?1f∥1/4L2∥?2f∥1/4L2, f∈C∞c(R3)?∥f∥L4≤23/4∥f∥1/4L2∥?1f∥1/4L2∥?2f∥1/4L2∥?3f∥1/4L2. [再寄小读者之数学篇](2014-05-28 Ladyzhenskaya 不等式),布布扣,bubuko.com