反证法

利用反证法证明:

对于所有实数 x 和 y, 如果x + y  2, 则 x  或者 y  1.

答: 假定 x 和 y均为实数,然后假定结论为假,即 ¬(x ≥ 1  y ≥ 1) 为真.

根据 De Morgan 定律, ¬(p ν q) ≡ ¬p Λ ¬q, 得 ¬(x ≥ 1 ν y ≥ 1)  ≡ ¬x ≥ 1 Λ ¬y ≥ 1 ≡ x ≤ 1 Λ y ≤ 1.

使用前面的定理,将不等式相加, x + y < 1 + 1 = 2堆出了矛盾 p Λ ¬p.

所以原题设成立.

反证法和逆否命题

利用反证法证明:对于所有的整数X,若 为奇数,则 X为奇数.

答:先将X看成所有整数,命题

若x²为奇数,则 x为奇数

的逆否命题为

若则 x不为奇数,则 x²不为奇数,

等价于

若则 x 为偶数,则 x² 为偶数,

因此

假定x为偶数,则 x=2k,其中k为某个整数.于是x² = (2*k)² = 2*2k².由于x²可以写成2*某个整数(整数位2k²的形式,所以x²为偶数.