题目链接：http://hihocoder.com/contest/hiho39/problem/1 ,归并排序求逆序数。
其实这道题也是可以用树状数组来做的，不过数据都比较大，所以要离散化预处理一下，文中也会给出离散化+树状数组的解法，不过要比归并排序慢一点。
算法：
还是按照题中给的解法。
我们来看一个归并排序的过程:
给定的数组为[2, 4, 5, 3, 1]，二分后的数组分别为[2, 4, 5], [1, 3]，假设我们已经完成了子过程，现在进行到该数组的“并”操作：
| a: [2, 4, 5] | b: [1, 3] | result:[1] | 选取b数组的1 | |||
| a: [2, 4, 5] | b: [3] | result:[1, 2] | 选取a数组的2 | |||
| a: [4, 5] | b: [3] | result:[1, 2, 3] | 选取b数组的3 | |||
| a: [4, 5] | b: [] | result:[1, 2, 3, 4] | 选取a数组的4 | |||
| a: [5] | b: [] | result:[1, 2, 3, 4, 5] | 选取a数组的5 |
在执行[2, 4, 5]和[1, 3]合并的时候我们可以发现，当我们将a数组的元素k放入result数组时，result中存在的b数组的元素一定比k小。在原数组中，b数组中的元素位置一定在k之后，也就是说k和这些元素均构成了逆序对。那么在放入a数组中的元素时，我们通过计算result中b数组的元素个数，就可以计算出对于k来说，b数组中满足逆序对的个数。
又因为递归的过程中，a数组中和k满足逆序对的数也计算过。则在该次递归结束时，[2, 4, 5, 3, 1]中所有k的逆序对个数也就都统计了。同理对于a中其他的元素也同样有这样的性质。由于每一次的归并过程都有着同样的情况，则我们可以很容易推断出：
若将每一次合并过程中得到的逆序对个数都加起来，即可得到原数组中所有逆序对的总数。
即在一次归并排序中计算出了所有逆序对的个数，时间复杂度为O(NlogN)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <string>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define eps 1e-8
#define INF 1000005
const int maxn = 100000 + 5;
int a[maxn] , b[maxn];
LL sum;
void merge(int a[] , int b[] , int l , int m , int r)
{
int i = l , j = m + 1 , k = 0;
int cnt = 0;
while(i <= m && j <= r) {
if(a[i] <= a[j]) {
b[k++] = a[i++];
sum += cnt;
} else {
b[k++] = a[j++];
cnt++;
}
}
while(i <= m) {
b[k++] = a[i++];
sum += cnt;
}
while(j <= r)
b[k++] = a[j++];
for(int i = 0 ; i < k ; i++)
a[i + l] = b[i];
}
void merge_sort(int a[] , int l , int r)
{
if(l < r) {
int m = (l + r) >> 1;
merge_sort(a , l , m);
merge_sort(a , m + 1 , r);
merge(a , b , l , m , r);
}
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
for(int i = 0 ; i < n ; i++)
scanf("%d" , &a[i]);
sum = 0;
merge_sort(a , 0 , n - 1);
cout << sum << endl;
return 0;
}
归并
也可以离散化+树状数组：
先把数据存起来，然后进行排序，这样原来的每个数在排序后数组中的下标可作为新的值，这样来离散化数据。
树状数组求逆序数的方法：假设求数组a[]的逆序对，倒序将数组中的每一个元素插入到树状数组中a[i]对应的位置，在插入每一个元素时，统计比它小的元素的个数。一次遍历之后，就能求得所有的逆序数。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#include <string>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 100000 + 5;
int a[maxn] , c[maxn] , n;
int lowbit(int x)
{
return x & (-x);
}
void update(int x , int num)
{
while(x <= n) {
c[x] += num;
x += lowbit(x);
}
}
int getsum(int i)
{
int res = 0;
while(i > 0) {
res += c[i];
i -= lowbit(i);
}
return res;
}
int binary_search(int a[] , int l , int r , int x)
{
int m = (l + r) >> 1;
while(l <= r) {
if(a[m] == x)
return m;
if(a[m] < x)
l = m + 1;
if(a[m] > x)
r = m - 1;
m = (l + r) >> 1;
}
return -1;
}
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
scanf("%d" , &a[i]);
c[i] = a[i];
}
sort(c + 1 , c + n + 1);
for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
int j = binary_search(c , 1 , n , a[i]);
a[i] = j;
}
memset(c , 0 , sizeof(c));
long long sum = 0;
for(int i = n ; i >= 1 ; i--) {
sum += getsum(a[i] - 1);
update(a[i] , 1);
}
cout << sum << endl;
return 0;
}
树状数组