随着我们进一步深入主题，知道什么是连续函数就变得非常重要。在日常用语中，一个连续的过程表示处理中没有空隙或中断或突然的变化。大体说来，如果一个函数显示相似的行为那它就是连续的，也就是说，如果x发生小的变化，相应的f(x)值也发生小的变化。图1所示的函数在点a处是连续，因为x趋近a时，f(x)趋近f(a)。或更确切地说，x充分趋近a时，f(x)要多接近就多接近f(a)。用极限的语言说就是
limx→af(x)=f(a).(1)
目前为止，我们对于连续的陈述非常松散和直观，更像是在解释而不是定义。现在，我们将等式(1)作为函数f(x)在点a处连续的定义。我们发现，函数f(x)在点a处连续需要满足三个条件：a必须在f(x)定义域内，这样的话f(a)就存在；f(x)在x趋近a时有极限；这个极限值必须等于f(a)。我们通过图1可以更好的理解这些条件，函数在点b,c,d处不连续，并且不连续的方式也不同。在点b处，limx→cf(x)存在但是f(b)不存在；点c，f(c)存在但limx→cf(x)不存在；点d，f(d),limx→df(x)都存在但值不相同。这个函数图存在三种不同情况的空隙或洞。
图1
这里给出的定义告诉我们函数在其定义域内某点连续意味着什么。如果函数对定义域内所有点连续，那么该函数就是连续函数。尤其是，根据极限的性质，所有多项式和有理函数都是连续函数；通过观察图像，我们看到函数(√x),sinθ和cosθ也是连续的。我们对闭区间上连续的函数非常感兴趣。这些函数经常用他们的图像进行描述。
对符号进行小小的修改，我们就可以用点x(而不是点a)来表达函数f(x)的连续性
limΔx→0f(x+Δx)=f(x)orlimΔx→0[f(x+Δx)?f(x)]=0;
如果Δy=f(x+Δx)?f(x)，那么条件就变成
limΔx→0Δy=0.
重新书写公式的目的是为了给出一个非常简单的证明，即函数在某点是可导的，那么函数在该点连续。证明只需一行：
limΔx→0Δy=limΔx→0ΔyΔx?Δx=[limΔx→0ΔyΔx][limΔx→0Δx]=dydx?0=0.
该命题的逆不成立，因为函数可以在某点连续，但没有导数。(例如，图1中的点a)。
之后会用到一些微积分定理，所以有必要将似是而非的推理转到严谨的证明。我们应该知道这些定理，但不必死记他们。我们论述三个基本定理，先不给出证据，但都会进行评论，阐明他们的含义。三个定理都是似是而非的，有些人可能会说直观上很显然。对于初学者而言，困难的部分在于面对这些非常可信的内容，我们需要持怀疑态度。
中值定理：函数y=f(x)满足下面两条性质：
f(x)在闭区间[a,b]上连续；
f(x)在开区间(a,b)上可导。
那么在开区间(a,b)上，至少存在一点c使得
f′(c)=f(b)?f(a)b?a.(2)
或等价的
f(b)?f(a)=f′(c)(b?a).(3)
中值定理的注解
通过观察图2的几何意义，我们感觉该定义是非常合理的。等式(2)的右边是A,B两点弦长的斜率，左边是x=c处的切线斜率。中值定理表明，图中至少存在一个点，该点的切线平行于弦。图3中存在两个这样的点，分别是x=c1,x=c2。但是这也符合要求，因为定理说至少存在一个点，这就表明允许有两个，三个或更多。
图2
中值定理的结论严格依赖于假设，因为如果假设有一点不满足，结论就不满足。考虑定义在区间[?1,1]上的函数y=|x|。该函数(图4)在闭区间[?1,1]上是连续的，在开区间(?1,1)上是可导的，除了点x=0，此处导数不存在。结论对该函数就不成立，因为弦是水平的，很明显图像上没有水平的切线。
图3
图4
为了理解中值定理的重要性，我们简单非正式的考虑三个结论(之后的博文会详细介绍)。每种情况都可导，而可导暗含着函数的一个性质。中值定理是两个性质之间的桥梁。
- 如果在一个区间上f′(x)>0，那么f(x)在这个区间上是增函数[增的意思是a<b那么f(a)<f(b)]。我们的几何直觉让我们确定这是真的，因为f(x)>0意味着切线指向右上方(图5)。基于中值定理更明确的结论是，等式(3)的右边是正的，所以左边也是正的，这就意味着f(a)<f(b)。
- 同理，如果在一个区间上f′(x)<0，那么f(x)在这个区间上是减函数[减的意思是a<b那么f(a)>f(b)]。
- 如果在一个区间上f′(x)=0，那么f(x)在这个区间上是常数。为了说明这种情况，我们反过来考虑，即，假设函数不是常数。那么存在两个点a,b且a<b，那么函数有两个不同的值f(a),f(b)。但是这意味着等式(3)的左边不等于0，而右边一定是0。这个矛盾表明我们的假设(函数不是常数)是错的。
极值定理：如果y=f(x)在闭区间[a,b]上有定义且连续，那么在区间内存在最小值和最大值；也就是说，在区间[a,b]上存在点c,d，使得f(c)≥f(x)≥f(d)，其中x在[a,b]上。
图5
极值定理的注解
通俗地讲，这个定理断定闭区间上连续函数的图总有一个高点和一个低点。考虑图6，很明显命题是成立的，所以我们惊奇怎么可能去怀疑它呢。然而，很难用严谨的方式来证明，因为它依赖于实数轴的一个性质(完整性，意味着没有”丢失”一个点)，这通常只在高级课程中讨论。
图6
另外，相对于中值定理，这里的结论只依赖于函数连续和区间是封闭的这两个假设。例如，图7所示的函数在区间[0.1)上是连续的，但是区间不封闭，因为不包含右端点。我们看的该函数在区间[0,1)上不存在最大值，因为唯一可能的最大值1在x=1处，但是f(1)没有定义。另一方面，图8中[0,2]区间是封闭的，函数在该区间的各处均连续，除了x=0外。而该函数在区间内没有最大值。
图7
关于极值有一个非常重要的事实，那就是费马定理：如果闭区间[a,b]上的连续函数f(x)在区间[a,b]内的一点c取得最大值或最小值，且f(x)在点c处可导，那么f′(c)=0。之后我们会经常计算闭区间上连续函数的极值。费马定理告诉我们，在区间的端点或内部，我们肯定可以找到这样的点，要么f′(x)=0，要么f′(x)不存在。
图8
介值定理：如果在闭区间[a,b]上y=f(x)有定义且连续，那么函数值都在f(a)和f(b)之间；也就是说，如果K是f(a)和f(b)之间的任何一个数，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=K。
介值定理的注解
观察图9，如果K位于f(a)和f(b)之间，那么高度为K的水平线与y=f(x)图像有交点。
图9
介值定理最好的形式是如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，那么(a,b)上至少存在一点c，使得f(c)=0。换句话说，图像不可能在没有穿过横轴的情况下从一边到另一边(图10)。这看起来似乎非常明显，但是如果函数哪怕在一个点处不连续，该命题就不成立。考虑定义在[0,2]上的函数
y=f(x)={?110<x<1,1≤x≤2
该函数的图像如图11所示，f(0)<0,f(2)>0，因为在点x=1处不连续，所以区间(0,2)上不存在点c使得f(c)=0。
图10
介值定理的实际意义通过一个例子可以更好的理解。观察方程
x3+2x?4=0(4)
它不容易因式分解，因为左边没有明显的因式。然而，连续函数f(x)=x3+2x?4在x=1处为负，在x=2处为正[f(1)=?1,f(2)=8]。因此介值定理保证f(x)在(1,2)上有零点，等式在该区间内有解。更进一步，对所有x，f′(x)=3x2+2>0，所以只有一个零点，(4)式只有一个解。假设有两个解，那么根据中值定理，存在一点c使得f′(c)=0，而这是不会发生的。
图11
评论：许多人学习微积分会失去耐心，这无可厚非，因为微积分的本质不在于定理以及如何证明他们，而在于将它们作为工具以及如何使用。数学上的严密思维是一件好事；但是就像美德一样，它被夸大了，微积分也往往如此。关注微积分证明的技巧而不是中心思想使我们对原本简单而清晰的概念生成了神秘感。