数论&数学从入门到放弃
组合数学
组合数：
将n个不同的球放入m个相同的盒子里的方案数
（从 n 个不同元素中每次取出 m 个不同元素，不管其顺序合成一组，称为从 n 个元素中不重复地选取 m 个元素的一个组合。所有这样的组合的种数称为组合数。）
递推公式：C（n，m）= C（n - 1，m - 1）+ C（n - 1，m）
（其它计算公式见组合数学常用公式）
推导方法：
- 若新的球独占一个盒子，则其它球占 m - 1 个盒子，共有 C（n - 1，m - 1）种方案
- 若新的球与其它球共用盒子，则分别与其它数在一个盒子，但有 n - 1 - m 个数是与其它数在同一集合中的，所以重复了 n - 1 - m 次，共有 C（n - 1，m - 1）* n / （n - 1 - m）= C（n - 1，m）种
只能向右、上走，从（0，0）到（n，m）的方案数
相当于在 n + m 个操作中选 n 个为上（横坐标加一）的方案数
即为 C（n + m，m）或 C（n + m，n）
从（0，0）到（n，m）不碰到 直线y = x + b 的方案数
计算公式：C（n + m，m）- C（n + m，n - b）
推导方法：
- 总方案数为 C（n + m，m）
- 将坐标系沿直线翻折，翻折后起点为（b，n - b），从翻折后的起点出发到达终点必会经过直线，且翻折后起点出发的路径都对应一条从原起点出发的路径
- 翻折后方案数 C（b + m + n - b，n - b）
- 所以不合法的方案数为 C（n + m，n - b）
斯特林数
第一类斯特林数
n 个人坐 m 张圆桌的方案数
推导公式：s（n，m）= s（n - 1，m - 1）+ s（n - 1，m）*（n - 1）
推导方法：
- 新一个人单独做一张圆桌，方案数为 s（n - 1，m - 1）
- 新一个人与其它人共坐圆桌，他可以在任意一个人的左边坐下，所以对于之前的每一种方案都有 n - 1 种方案，根据乘法原理，方案数为 s（n - 1，m）*（n - 1）
第二类斯特林数
n 个球分成 m 个集合的方案数
推导公式：S（n，m）= S（n - 1，m - 1）+（n - 1，m）* m
推导方法：和上一种差不多
容斥原理
card表示集合的大小
card（a∪b）= card（a）+ card（b）- card（a∩b）
card（a∪b∪c）= card（a）+ card（b）+ card（c）- card（a∩b）- card（b∩c）-card（a∩c）+ card（a∩b∩c）
……
扩展欧几里得
用来求形如 a x + b y = gcd（a，b）的不定方程特解，且求出的解满足 |x|+|y| 最小
void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y) {
b ? exgcd(b, a % b, d, y, x), y -= x * (a / b) : d = a, x = 1, y = 0;
}
欧拉定理
其中φ（n）为欧拉函数，即小于等于 n，且与 n 互质的数的个数。（a，n互质）
对于指数很大的情况，可以根据欧拉定理降幂
逆元
若满足
则称B在模A意义下的乘法逆元，逆元可以用来求带取模的除法
逆元的求法：
- 根据欧拉定理，快速幂求出：B = AP - 2 % P
- 解方程 P x + A y = 1，则 A y = 1 - P x，y Ξ 1 / A （mod P）
- 递推求逆元：
即 inv[i] = p -（p / i * inv[p % i]）% p
质数的求法
单个质数：
使用试除法，用小于等于sqrt（x）的数试除 x 若能除尽，则 x 为合数
bool prime(int x) {
if(x == 2)return 1;
if(x % 2 == 0 || x == 1)return 0;
for(int i = (int)sqrt(x) | 1; i >= 3; i -= 2)
if(x % i == 0)return 0;
return 1;
}
求 1 ~ n之间的质数
使用筛法求质数
//复杂度很低的筛法
for(int i = 2; i <= n; i ++)
if(! w[i]) {
p[ ++cnt] = i;
for(int j = 2; j <= i; j ++)w[i * j] = 1;
}
//线性筛法
for(int i = 2; i <= n; i ++) {
if(! w[i])p[ ++cnt] = i;
for(int j = 1; j <= cnt && i * p[j] <= n; j ++) {
w[i * p[j]] = 1;
if(i % p[j] == 0)break;
}
}
中国剩余定理
给出若干个方程，每一个都形如 x % Pi = ai，Pi互质且互不相同
BSGS算法
求形如 ax Ξ b （mod P） 的方程的解
原文地址：https://www.cnblogs.com/akakw1/p/9737555.html