二次剩余 Cipolla算法

欧拉准则

$a$是$p$的二次剩余等价于$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\pmod p$，$a$不是$p$的二次剩余等价于$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\pmod p$。

Cipolla

若$a^2-n$不是$p$的二次剩余，则$p$的二次剩余为$(a+\sqrt{a^2-n})^\frac{p+1}{2}$。

因此我们随机$a$即可。$\sqrt{a^2-n}$的计算用复数。

时间复杂度约为$O(\log^2p)$。

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时间： 2024-08-01 20:09:30

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二次剩余-Cipolla

二次剩余 $Cipolla$ 算法概述大概就是在模 $p$ 意义下开根号,如求解方程$x^2\equiv n(mod\ p)$. 这里只考虑 $p$ 为素数的情况.若 $p=2$ ,则$x=0\ when\ n=0,x=1\ when\ n=1$. 若 $p?$ 为奇素数,定义勒让德符号: \[ \lgroup\frac{n}{p}\rgroup =n^{\frac{p-1}{2}} \] 则根据欧拉准则, \[ \lgroup \frac{n}{p} \rgro

二次剩余定理及Cipolla算法入门到自闭

二次剩余定义: 在维基百科中,是这样说的:如果q等于一个数的平方模 n,则q为模 n 意义下的二次剩余.例如:x2≡n(mod p).否则,则q为模n意义下的二次非剩余. Cipolla算法:一个解决二次剩余强有力的工具,用来求得上式的x的一个算法. 需要学习的数论及数学基础:勒让德符号.欧拉判别准则和复数运算. 勒让德符号:判断n是否为p的二次剩余,p为奇质数. 欧拉定理为xφ(p)≡1(mod p) 当p为素数时,可知φ(p)=p-1,转化为xp-1≡1(mod p) 开根号后为 x(p−1

Cipolla算法学习小记

转自:http://blog.csdn.net/doyouseeman/article/details/52033204 简介 Cipolla算法是解决二次剩余强有力的工具,一个脑洞大开的算法. 认真看懂了,其实是一个很简单的算法,不过会感觉得出这个算法的数学家十分的机智. 基础数论储备二次剩余首先来看一个式子x2≡n(modp),我们现在给出n,要求求得x的值.如果可以求得,n为mod p的二次剩余,其实就是n在mod p意义下开的尽方.Cipolla就是一个用来求得上式的x的一个算法.

二次剩余&&Cipolla

目录二次剩余勒让德符号(legendre symbol) Cipolla's Algorithm. 代码 end 二次剩余给定y和奇质数p,求x,使得$x^2≡y(mod p)$ 勒让德符号(legendre symbol) 以前看视频的截图求解$x^2\equiv a(mod\ p)$时,我们可用勒让德符号来判定他是否有解 (前提,p必须为奇素数) \(\begin{pmatrix} \frac{a}{p} \end{pmatrix}=\begin{cases}0 (a\equ

【数论】【二次剩余】【map】hdu6128 Inverse of sum

部分引用自:http://blog.csdn.net/v5zsq/article/details/77255048 所以假设方程 x^2+x+1=0 在模p意义下的解为d,则答案就是满足(ai/aj) mod p = d的数对(i,j)的数量(i<j). 现在把问题转化为解这个模意义下的二次方程. x^2+x+1=0 配方:x^2+x+1/4+3/4=0 (x+1/2)^2+3/4=0 同乘4:(2x+1)^2+3=0 即(2x+1)^2=-3 (mod p) 换句话说,我们必须保证-3+p是p

常用/常考算法总结

转自tangjz的博客... 基础算法模拟搜索广度优先搜索(BFS) 优化:双向BFS 深度优先搜索(DFS) 优化:折半DFS 迭代加深搜索(IDS) 启发式搜索(Astar) 优化:IDAstar 优化:剪枝.位运算排序冒泡排序/选择排序基数排序/桶排序计数排序插入排序/希尔排序快速排序归并排序/求逆序对数堆排序贪心分治二分/三分/n分 cdq分治倍增/ST 离散化二分答案快速幂/十进制快速幂基础数学数列求和泰勒展开矩阵矩阵乘法高斯消元判断线性

HDU6128 二次剩余/二次域求二次剩余解/LL快速乘法取模

LINK 题意:求满足模p下$\frac{1}{a_i+a_j}\equiv\frac{1}{a_i}+\frac{1}{a_j}$的对数,其中$n,p(1\leq n\leq10^5,2\leq p\leq10^{18})$ 思路:推式子,两边同乘$(a_i + a_j)^3$,得$a_i^2+a_j^2 \equiv {a_i·a_j} \mod{p}$,进一步$a_i^2+a_j^2+a_i·a_j\equiv {0} \mod{p}$,然后?然后会点初中数竞,或者数感好会因式分解就能看出

二次剩余

今天要讨论的问题是解方程,其中是奇质数. 引理: 证明:由费马小定理, 引理:方程有解当且仅当定理:设满足不是模的二次剩余,即无解,那么是二次剩余方程的解. 证明:由,前面的等号用二项式定理和,后面的等号用了费马小定理和是模的二次非剩余.然后在算法实现的时候,对的选择可以随机,因为大约有一半数是模的二次非剩余,然后快速幂即可. 接下来我们来解另一个二次同余方程的解,其中,并且是奇质数.方法如下先求出方程的一个解,那么进一步有我们知道那么也就是说可以证明和,那么最终得到这里由于不

算法分级

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