求集合中选一个数与当前值进行位运算的max

这是一个听来的神仙东西。
先确定一下值域把，大概\(2^{16}\)，再大点也可以，但是这里就只是写写，所以无所谓啦。

我们先看看如果暴力求怎么做，位运算需要给定\(01/10,00,11\)的关系，总共\(8\)种。
如果是暴力的话，我们的方法有两种，
第一种是比较喜闻乐见的，
我们对于当前数\(x\)，暴力计算所有存在的数\(a_i\)中，\(x\oplus a_i\)的最大值，这样的复杂度是\(O(2^{16})\)的。
另外一种也是不难考虑到的，
我们对于每个可能出现的数维护一个当前所有数的最大值。
也就是对于所有值域中的数，维护一个答案\(ans\)
然后依次插入所有集合中所有的数\(a_i\)，每次暴力计算所有的答案的最大值，
也就是\(ans[x]=max\{x\oplus a_i \}\)，这样子询问的时候可以\(O(1)\)查询。

两种方法一种是插入\(O(1)\)询问\(O(n)\)，另外一个是插入\(O(n)\)，询问\(O(1)\)
我们把两种东西结合一下，这样可以得到一个\(O(\sqrt n)\)的方法。
大致的方法如下:
我们对于每个数从中间分开，拆成前\(8\)个二进制位和后\(8\)个二进制位。
这样子我们可以预处理一个数组\(pre[i][j]\)，
表示集合中一个前\(8\)位是\(i\)的数，后\(8\)位能够和\(j\)进行位运算的最大值。
这样子\(i,j\)都是一个\(8\)位的数，总的空间和上述方法一样。
因为位运算是可以按位贪心的，所以对于查询一个数\(x\)
我们把它拆成\(x=a\times 2^8+b\)，
每次先暴力\(for\)所有可能的前\(8\)位，找到与\(a\)能够构成最大值的那些数，
然后对于找到的所有数的前八位\(p\)，直接查\(pre[p][b]\)，
因为前八位更大的数一定更大，那么影响结果的就只剩下后八位了，
把两个部分拼接起来就好了。
这样子暴力\(for\)前八位的复杂度是\(O(2^8)\)
查找后面部分最大值的复杂度是\(O(1)\)
所以这样子总的复杂度\(O(2^8)\)。
而对于集合中插入一个数，前\(8\)位唯一确定，每次只需要预处理后\(8\)位的结果。
时间复杂度还是\(O(2^8)\)
总的复杂度还是\(O(2^8)\)

原文地址：https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9388651.html