算法第四章上机实践报告
一、 实践题目
4-1 程序存储问题 (90 分)
设有n 个程序{1,2,…, n }要存放在长度为L的磁带上。程序i存放在磁带上的长度是 li，1≤i≤n。 程序存储问题要求确定这n 个程序在磁带上的一个存储方案， 使得能够在磁带上存储尽可能多的程序。 对于给定的n个程序存放在磁带上的长度，计算磁带上最多可以存储的程序数。
输入格式:
第一行是2 个正整数，分别表示文件个数n和磁带的长度L。接下来的1行中，有n个正整数，表示程序存放在磁带上的长度。
输出格式:
输出最多可以存储的程序数。
输入样例:
在这里给出一组输入。例如：
6 50
2 3 13 8 80 20
输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：
5
二、 问题描述
先输入程序个数和磁带长度，下一行依次输入每个程序的长度，从而选择一种储存方式使得储存的程序个数最多（选择的程序总长不能超过磁带长度）。
要尽可能多的储存程序，那么只需要每次都挑最短的加入进磁带即可，用到贪心算法的思维，可描述为：
式中，变量xi=0表示第i个程序不装入磁带，xi=1表示第i个程序装入磁带，L是磁带总长，li是第i个程序的长度。
三、 算法描述
1、贪心算法
sort(a,a+n);
int p = 0, count = 0;
for(int i = 0; i < n; i++) {
count += a[i];
if(count <= m) {
p++;
}
}
策略：每次都选择长度最小的加入（用sort直接按从小到大排好序）
证明：
设程序长度按从小到大排序，（x1，x2，…，xn）是一个最优解，设k = min { i | xi = 1 }（1≤i≤n），如果该问题有解，则1≤k≤n。
① 当k=1时，（x1，x2，…，xn）是一个满足贪心选择性质的最优解。
② 当k>1时，取y1=1，yk=0，yi=xi，1＜i≤n，i≠k，则
因此，（y1，y2，…，yn）是所给问题的可行解。
另一方面，由
知，（y1，y2，…，yn）是满足贪心选择性质的最优解。
最优子结构：
设（x1，x2，…，xn）是该问题的满足贪心选择性质的最优解，则x1=1，（x2，x3，…，xn）是磁带可用长度为L-l1、待选择程序为{2，3，…，n}时相应最优装载问题的最优解。也就是说，该问题具有最优子结构性质。
2、判断是否超过总长度
将从小到大的排好序的程序依次加入磁带，如果超出总长度就停止。用一个变量count来记录已用长度，用p来记录加入的程序数。
3、完整代码
1 #include<iostream>
2 #include<algorithm>
3 using namespace std;
4 int main(){
5 int n,m;
6 cin>>n>>m;
7 int a[n];
8 for(int i = 0; i < n; i++) {
9 cin>>a[i];
10 }
11 sort(a,a+n);
12 int p = 0, count = 0;
13 for(int i = 0; i < n; i++) {
14 count += a[i];
15 if(count <= m) {
16 p++;
17 }
18 }
19 cout<<p<<endl;
20 return 0;
21 }
完整代码
算法时间及空间复杂度分析
sort排序+循环遍历所有程序，不断加入磁带直到达到最大长度限制，所以时间复杂度为O(n)，这里贪心算法只是一个sort排序，贪心算法的时间复杂度为O(nlogn)。
解这道题中，只用到了存储数据的本来的数组a[n]，将本来的数组进行排序，没有用到辅助空间。
四、 心得体会
贪心问题，做起来我自己感觉，比起前面的动态规划，分治问题都要简单许多。就是在寻找一个贪心策略，举出反例的话就换一个，最后得到最好的，一般都是“最什么什么的”策略，很好想，也较好打出代码。
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