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菱形打印程序——谈如何学习算法 |
1.菱形打印
很多人，打印菱形在控制台的思路是，把菱形上下拆分，分两段很接近的代码来打印，其实这样代码很不好看，并且不好阅读.
我们知道，要打印的图案是这种：
*
***
*****
***
*
满足上下对称，左右对称，那么，你能不能也弄一个二重循环，同样是对称的？
很简单，首先我们要抛开习惯性思维，for循环不一定要在0开始或者0结束,我们可以让循环从 -c 到 c ，这样不就轻松产生一个对称的吗？（只要取个绝对值）我们把菱形的中心看成是坐标0,0，那么，会输出星号的坐标，是 |x| + |y| <= c 的点.
由此可得
#include <stdio.h>
#define IABS(x) ( (x) >= 0 ? (x) : -(x) ) //定义一个计算绝对值的宏
void print(int size) // size是这个菱形的半径，直径会是size * 2 + 1
{
int x, y;
for (y = -size; y <= size; y++)
{
for (x = -size; x <= size; x++)
{
if ( IABS(x) + IABS(y) <= size ) //x和y各自的绝对值的和，即 |x|
+ |y| <= size
putchar(‘*‘);
else
putchar(‘ ‘);
}
putchar(‘\n‘);
}
}
int main()
{
print(5); //输出一个半径为5的菱形
getchar();
return 0;
}
如果我需要得到空心菱形呢？非常非常简单，因为菱形边界上的点，满足的是|x| + |y| == c,所以，我们只要把那个if里的小于等于号，改成双等于号 == 就可以了
再类似地，如果我不要*号，我要最外层是字母A，然后里一层是B这样呢？即：
A
ABA
ABCBA
ABA
A
那么，我们只要在putchar那里做一个字符计算：
void print(int size) // size是这个菱形的半径，直径会是size * 2 + 1
{
int x, y;
for (y = -size; y <= size; y++)
{
for (x = -size; x <= size; x++)
{
if ( IABS(x) + IABS(y) <= size ) //x和y各自的绝对值的和，即 |x|
+ |y| <= size
putchar( ‘A‘ + (size - IABS(x) - IABS(y)) ); //留意这里的计算方法
else
putchar(‘ ‘);
}
putchar(‘\n‘);
}
}
类似地，如果我们要打印的是X形：
* *
* *
*
* *
* *
同样可以利用这个思路完成，这题就作为思考题吧
其实include stdlib.h后可以直接用abs()- -，而且严格来说int main(void)是最正确的，当然这些不是重点。
拿到一个算法程序，最简单的分析方式就是先跟踪看一下运行过程，由于size理论上可以取任意值，我们只要弄懂一种情况就等于弄懂了所有情况，所以为了简化分析先size=3，看一下第一次大的循环：
y=-3
x=-3 ‘ ‘
x=-2 ‘ ‘
x=-1 ‘ ‘
x=0 ‘*‘
x=1 ‘ ‘
x=2 ‘ ‘
x=3 ‘ ‘
到这里我们会发现，开始|x|+|y|>size，所以前面输出了三个‘ ‘，然而由于|x|渐渐减小，之后输出了一个‘*‘，由于|x|又渐渐增大，又输出了三个‘ ‘，这样就巧妙地完成了左右的对称。
又由于下一次循环|y|比这次循环小1，所以就“更容易”输出‘*‘，由于|y|也有对称的特性，所以完成了上下的对称。
至此，我们大概就对为什么可以上下左右对称有了一个感性的认识，不过恐怕更多的是对这些代码的惊叹：为什么这样写就能巧妙地做到这些？IABS(x) + IABS(y) <= size这个表达式也太神奇了！其实我们上来看程序的运行过程，只是为了从运行过程中试着找到入口去探索这个算法的本质是什么，这是一个从现象到本质的过程，而不能被现象吓到了。
我们把菱形的中心看成是坐标0,0，那么，会输出星号的坐标，是
|x| + |y| <= c 的点
那么程序的原理实际上就是通过枚举{(x,y), |x| <= size, |y| <= size,
x, y ∈Z}中的点（即下图中红色部分，包括边界），再通过一个式子来确认合法点，如果合法，就输出‘*‘，反之输出‘ ‘：
那么我们又有疑问了，为什么是|x| + |y| <= c？
我们来证明一下上面右上角的红色三角区域（包括边界）的所有点(x,y)（x，y∈N），x+y<=size（自己先试试看）：
通过观察，我们可以发现y的取值范围随着x在改变，至于“怎么改变”则与size有关，那么我们可以想一下，如果我们把其中的y用size和x表示，这个不等式不就容易得证了吗？
那么我们可以得知y∈[0, size-x]（x≠size），取两边分别讨论，当y=0时，x+y=x<=size，当y=size-x时，x+y=x+size- x=size，当y∈(0, size-x)（x≠size）时，x+y<size。综上所述，x+y<=size，证毕。
其实即使你不会证明，也可以当作公式默认下来，这都无关紧要。
于是我们就能自己写出|x| + |y| <= c这个式子了，也就知道了这个算法的本质，现在一切都掌握在我们手中，甚至我们可以对原程序做一点改动：
由于是枚举(x,y)∈{(x,y), |x| <= size, |y| <= size, x, y
∈Z}，而且有绝对值的对称做保障，那么无论x、y谁在外面只要全枚举到就行了，所以也可以把x放在外层循环：
for (x = -size; x <= size; x++)
{
for (y = -size; y <= size; y++)
{
if (IABS(x) + IABS(y) <= size) //x和y各自的绝对值的和，即 |x| + |y| <= size
putchar(‘*‘);
else
putchar(‘ ‘);
}
putchar(‘\n‘);
}
观察原程序的输出，我们可以发现由于对称的缘故，程序输出的右侧多输出了我们看不见的空格，我们也可以不输出它：
if (IABS(x) + IABS(y) <= size ) //x和y各自的绝对值的和，即 |x| + |y| <= size
putchar(‘*‘);
else if (x < 0)
putchar(‘ ‘);
else
break;
虽然上述改动没有太大意义，但是说明了如果我们掌握了算法的本质，我们就掌握了全局，那么就可以进行任何改动的道理。