【bzoj4591】[Shoi2015]超能粒子炮·改 Lucas定理

题目描述

曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明：超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加强大的粒子流的神秘装置。超能粒子炮·改相比超能粒子炮，在威力上有了本质的提升。它有三个参数n，k。它会向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流。现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数，让你求其发射的粒子流的威力之和模2333。

输入

第一行一个整数t。表示数据组数。

之后t行，每行二个整数n，k。含义如题面描述。

k<=n<=10^18，t<=10^5

输出

t行每行一个整数，表示其粒子流的威力之和模2333的值。

样例输入

1
5 5

样例输出

32

求$\sum\limits_{i=0}^kC_n^i\ mod\ 2333$的值

题解

Lucas定理

设$p=2333,a=\frac kp,b=k\ mod\ p$，那么有：

于是可以递推预处理出0~2332内的组合数即f值，然后对于输入的n和k递归求解即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 2400
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 2333;
ll c[N][N] , sum[N][N];
void init()
{
	ll i , j;
	for(i = 0 ; i <= mod ; i ++ )
	{
		c[i][0] = sum[i][0] = 1;
		for(j = 1 ; j <= i ; j ++ ) c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % mod;
		for(j = 1 ; j <= mod ; j ++ ) sum[i][j] = (sum[i][j - 1] + c[i][j]) % mod;
	}
}
ll choose(ll n , ll m)
{
	if(n < m) return 0;
	if(n < mod && m < mod) return c[n][m];
	return choose(n / mod , m / mod) * choose(n % mod , m % mod) % mod;
}
ll calc(ll n , ll k)
{
	if(k < mod) return sum[n % mod][k % mod];
	return (sum[n % mod][mod - 1] * calc(n / mod , k / mod - 1) + choose(n / mod , k / mod) * calc(n % mod , k % mod)) % mod;
}
int main()
{
	init();
	int T;
	ll n , k;
	scanf("%d" , &T);
	while(T -- ) scanf("%lld%lld" , &n , &k) , printf("%lld\n" , calc(n , k));
	return 0;
}