深入理解dijkstra
Dijkstra
对于一个有向图或无向图，所有边权为正（边用邻接矩阵的形式给出），给定a和b，求a到b的最短路，保证a一定能够到达b。这条最短路是否一定存在呢？答案是肯定的。相反，最长路就不一定了，由于边权为正，如果遇到有环的时候，可以一直在这个环上走，因为要找最长的，这样就使得路径越变越长，永无止境，所以对于正权图，在可达的情况下最短路一定存在，最长路则不一定存在。这里先讨论正权图的最短路问题。
最短路满足最优子结构性质，所以是一个动态规划问题。最短路的最优子结构可以描述为：
D(s, t) = {Vs ... Vi ... Vj ... Vt}表示s到t的最短路，其中i和j是这条路径上的两个中间结点，那么D(i, j)必定是i到j的最短路，这个性质是显然的，可以用反证法证明。
基于上面的最优子结构性质，如果存在这样一条最短路D(s, t) = {Vs ... Vi Vt}，其中i和t是最短路上相邻的点，那么D(s, i) = {Vs ... Vi} 必定是s到i的最短路。Dijkstra算法就是基于这样一个性质，通过最短路径长度递增，逐渐生成最短路。
Dijkstra算法是最经典的最短路算法，用于计算正权图的单源最短路（Single Source Shortest Path，源点给定，通过该算法可以求出起点到所有点的最短路），它是基于这样一个事实：如果源点到x点的最短路已经求出，并且保存在d[x] ( 可以将它理解为D(s, x) )上，那么可以利用x去更新 x能够直接到达的点 的最短路。即：
d[y] = min{ d[y], d[x] + w(x, y) } y为x能够直接到达的点，w(x, y) 则表示x->y这条有向边的边权
具体算法描述如下：对于图G = <V, E>，源点为s，d[i]表示s到i的最短路，visit[i]表示d[i]是否已经确定(布尔值)。
1) 初始化 所有顶点 d[i] = INF, visit[i] = false，令d[s] = 0；
2) 从所有visit[i]为false的顶点中找到一个d[i]值最小的，令x = i; 如果找不到，算法结束；
3) 标记visit[x] = true, 更新和x直接相邻的所有顶点y的最短路： d[y] = min{ d[y], d[x] + w(x, y) }
（第三步中如果y和x并不是直接相邻，则令w(x, y) = INF）