引言：写这篇文章的初衷只是想做个笔记，因为这道题代码量有点大，有点抽象，而书上并没有详细的注释。为了加深印象和便于下次复习，做个记录。
原题：把n个骰子扔到地上，所有骰子朝上一面的点数之后为s. 输入n，打印出s所有可能的值出现的概率。（每个骰子6个面，点数从1到6）
解法一：基于递归，时间效率不高
递归的思想一般是分而治之，把n个骰子分为第一个和剩下的n-1个。先计算第一个骰子每个点数出现的次数，再计算剩余n-1个骰子出现的点数之和。求n-1个骰子的点数之的方法和前面讲的一样，即再次把n-1个骰子分成两堆------第一个和剩下的n-2个。n个骰子，每个骰子6个面，总共有6n个组合。这6n个组合之中肯定有重复的，我们知道其范围是n~6n,对于每种情况我们可以用缓存机制记录下来，每当其发生一次我们令其对应的单元加1。
我们定义一个长度为6n-n+1的数组，和为s的点数出现的次数保存到数组第s-n个元素里。为什么是6n-n+1呢？因为n个骰子的和最少是n，最大是6n，介于这两者之间的每一个情况都可能会发生，总共6n-n+1种情况。下面是java源码：
1 private static final int g_maxValue = 6;
2 //基于递归求骰子点数，时间效率不高
3 public static void PrintProbability(int number){
4 if(number<1) return;
5 int maxSum = number*g_maxValue;
6 int[] pProbabilities = new int[maxSum-number+1];
7 //初始化，开始统计之前都为0次
8 for(int i=number;i<=maxSum;i++){
9 pProbabilities[i-number] = 0;
10 }
11 double total = Math.pow(g_maxValue,number);
12 //probability(number,pProbabilities);这个函数计算n~6n每种情况出现的次数
13 probability(number,pProbabilities);
14 for(int i=number;i<=maxSum;i++){
15 double ratio = pProbabilities[i-number]/total;
16 System.out.println("i: "+i+" ratio: "+ratio);
17 }
18 }
19 public static void probability(int number,int[] pProbabilities){
20 for(int i=1;i<=g_maxValue;i++){//从第一个骰子开始
21 probability(number,number,i,pProbabilities);
22 }
23 }
24 //总共original个骰子，当前第 current个骰子，当前的和，贯穿始终的数组
25 public static void probability(int original,int current,int sum,int[] pProbabilities){
26 if(current==1){
27 pProbabilities[sum-original]++;
28 }else{
29 for(int i=1;i<=g_maxValue;i++){
30 probability(original,current-1,sum+i,pProbabilities);
31 }
32 }
33 }
这种方法思路非常简洁，但是递归实现会存在子问题重复求解的情况发生，所以当number很大的时候，其性能会慢的让人不能接受。
解法二：基于循环，时间性能好
递归一般是自顶向下的分析求解，而基于循环的方法则是自底向上。基于循环的一般需要更少的空间和更少的时间，性能较好，但是一般代码比较难懂。
书上的讲解比较简单，代码没有注释，这里本人用java实现了书本上的方法，注释比较详细。
1 //基于循环求骰子点数
2 public static void PrintProbability_1(int number){
3 if(number<1){
4 return;
5 }
6 int[][] pProbabilities = new int[2][g_maxValue*number +1];
7 for(int i=0;i<g_maxValue;i++){//初始化数组
8 pProbabilities[0][i] = 0;
9 pProbabilities[1][i] = 0;
10 }
11 int flag = 0;
12 for(int i=1;i<=g_maxValue;i++){//当第一次抛掷骰子时，有6种可能，每种可能出现一次
13 pProbabilities[flag][i] = 1;
14 }
15 //从第二次开始掷骰子，假设第一个数组中的第n个数字表示骰子和为n出现的次数，
16 //在下一循环中，我们加上一个新骰子，此时和为n的骰子出现次数应该等于上一次循环中骰子点数和为n-1,n-2,n-3,n-4,n-5，
17 //n-6的次数总和，所以我们把另一个数组的第n个数字设为前一个数组对应的n-1,n-2,n-3,n-4,n-5，n-6之和
18 for(int k =2;k<=number;k++){
19 for(int i=0;i<k;i++){//第k次掷骰子，和最小为k，小于k的情况是不可能发生的！所以另不可能发生的次数设置为0！
20 pProbabilities[1-flag][i] = 0;
21 }
22 for(int i=k;i<=g_maxValue*k;i++){//第k次掷骰子，和最小为k，最大为g_maxValue*k
23 pProbabilities[1-flag][i] = 0;//初始化，因为这个数组要重复使用，上一次的值要清0
24 for(int j=1;j<=i&&j<=g_maxValue;j++){
25 pProbabilities[1-flag][i] += pProbabilities[flag][i-j];
26 }
27 }
28 flag = 1-flag;
29 }
30 double total = Math.pow(g_maxValue, number);
31 for(int i=number;i<=g_maxValue*number;i++){
32 double ratio = pProbabilities[flag][i]/total;
33 System.out.println("sum: "+i+" ratio: "+ratio);
34 }
35 }
运行结果：
sum: 6 ratio: 2.143347050754458E-5
sum: 7 ratio: 1.286008230452675E-4
sum: 8 ratio: 4.501028806584362E-4
sum: 9 ratio: 0.0012002743484224967
sum: 10 ratio: 0.002700617283950617
sum: 11 ratio: 0.005401234567901234
sum: 12 ratio: 0.00977366255144033
sum: 13 ratio: 0.016203703703703703
sum: 14 ratio: 0.02488425925925926
sum: 15 ratio: 0.03570816186556927
sum: 16 ratio: 0.048161008230452676
sum: 17 ratio: 0.061213991769547324
sum: 18 ratio: 0.07353823731138547
sum: 19 ratio: 0.08371913580246913
sum: 20 ratio: 0.09047067901234568
sum: 21 ratio: 0.09284979423868313
sum: 22 ratio: 0.09047067901234568
sum: 23 ratio: 0.08371913580246913
sum: 24 ratio: 0.07353823731138547
sum: 25 ratio: 0.061213991769547324
sum: 26 ratio: 0.048161008230452676
sum: 27 ratio: 0.03570816186556927
sum: 28 ratio: 0.02488425925925926
sum: 29 ratio: 0.016203703703703703
sum: 30 ratio: 0.00977366255144033
sum: 31 ratio: 0.005401234567901234
sum: 32 ratio: 0.002700617283950617
sum: 33 ratio: 0.0012002743484224967
sum: 34 ratio: 4.501028806584362E-4
sum: 35 ratio: 1.286008230452675E-4
sum: 36 ratio: 2.143347050754458E-5