一些数学变换

首先是FFT：

FFT是将系数表达的多项式转化为点值表达的多项式的一类变换：

我们希望计算：

\(A(x) = \sum_{j=0}^{n-1}a_{j}x^{j}\)

对于n个单位复数根有：

\(y_{k} = A(\omega _{n}^{k}) = \sum_{j = 0}^{n - 1}a_{j}\omega _{n}^{kj}\)

我们定义

\(A^{[0]}(x)= a_{0} + a_{2}x+a_{4}x^{2}+ \cdot \cdot \cdot +a_{n-2}x^{n/2-1}\)

\(A^{[1]}(x)= a_{1} + a_{3}x+a_{5}x^{2}+ \cdot \cdot \cdot +a_{n-1}x^{n/2-1}\)

即\(A^{[0]}\)包含所有偶数下标的系数，\(A^{[1]}\)包含所有奇数下标的系数

容易得到

\(A(x)=A^{[0]}(x^{2})+xA^{[1]}(x^{2})\)

所以问题就转化为了两个更小规模的问题：

求次数为n / 2的多项式\(A^{[0]}\)和\(A^{[1]}\)在点

\((\omega _{n}^{0})^{2},(\omega _{n}^{1})^{2},\cdot \cdot \cdot ,(\omega _{n}^{n-1})^{2}\)

的取值

以下是代码

struct cpy
{
    double i, j;
}a[N], b[N], c[N];
cpy operator+ (cpy a, cpy b) {return (cpy){a.i + b.i, a.j + b.j};}
cpy operator- (cpy a, cpy b) {return (cpy){a.i - b.i, a.j - b.j};}
cpy operator* (cpy a, cpy b) {return (cpy){a.i * b.i - a.j * b.j, a.i * b.j + a.j * b.i};}
const double pi = acos(-1);
void FFT(cpy a[], int n, int fl = 1)
{
        for (int i = 1, j = (n >> 1); i < n; ++ i)
    {
        if (i < j) swap(a[i], a[j]); int k;
        for (k = (n >> 1); j & k; j ^= k, k >>= 1); j ^= k;
    }
    for (int i = 2; i <= n; i = i << 1)
    {
        cpy w = (cpy){cos(fl * 2 * pi / i), sin(fl * 2 * pi / i)};
        for (int j = 0; j < n; j += i)
        {
            cpy wn = (cpy){1, 0};
            for (int k = j; k < j + i / 2; ++ k)
            {
                cpy u = a[k], v = a[k + i / 2] * wn;
                a[k] = u + v; a[k + i / 2] = u - v;
                wn = wn * w;
            }
        }
    }
    if (fl < 0) for (int i = 0; i < n; ++ i) a[i].i /= n;
}    

FFT

然后是NTT：