[dp]最长单调递增子序列

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解题关键：

如果将子序列按照长度由短到长排列，将他们的最大元素放在一起，形成新序列B{b1,b2,……bj}，则序列B满足b1 < b2 < …… <bj。这个关系比较容易说明，假设bxy表示序列A中长度为x的递增序列中的第y个元素，显然，如果在序列B中存在元素bmm > bnn，且m < n则说明子序列Bn的最大元素小于Bm的最大元素，因为序列是严格递增的，所以在递增序列Bn中存在元素bnm < bnn，且从bn0到bnm形成了一个新的长度为m的递增序列，因为bmm > bnn，所以bmm > bnm，这就说明在序列B中还存在一个长度为m，最大元素为bnm < bmm的递增子序列，这与序列的定义，bmm是所有长度为m的递增序列中第m个元素最小的序列不符，所以序列B中的各元素严格递增。

注意liss存的是下标，主要是为了求pre用，若只求max，你当然可以设成值。

1、只求数量模板

(1)liss为索引模板

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstdlib>
 5 #include<iostream>
 6 using namespace std;
 7 typedef long long ll;
 8 int arr[50002],liss[50002];
 9 int find1(int i,int l,int r){
10     int mid;
11     while(l<r){
12         mid=(l+r)>>1;
13         if(arr[liss[mid]]>arr[i]) r=mid;
14         else l=mid+1;
15     }
16     return r;
17 }
18 int lis(int len){
19     int max=1;
20     liss[0]=0;
21     for(int i=0;i<len;i++){
22         int index=find1(i,0, max-1);
23         if(index==max-1&&arr[liss[index]]<arr[i]){
24             liss[max++]=i;
25             continue;
26         }
27         liss[index]=i;
28     }
29     return max;
30 }
31 int main(){
32     int n;
33     cin>>n;
34     for(int i=0;i<n;i++){
35         cin>>arr[i];
36     }
37     ll ans=lis(n);
38     printf("%lld\n",ans);
39     return 0;
40 }

(2)liss为值模板

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstdlib>
 5 #include<iostream>
 6 using namespace std;
 7 typedef long long ll;
 8 int arr[50002],liss[50002];
 9 int find1(int i,int l,int r){
10     int mid;
11     while(l<r){
12         mid=(l+r)>>1;
13         if(liss[mid]>arr[i]) r=mid;
14         else l=mid+1;
15     }
16     return r;
17 }
18 int lis(int len){
19     int max=1;
20     liss[0]=0;
21     for(int i=0;i<len;i++){
22         int index=find1(i,0, max-1);
23         if(index==max-1&&liss[index]<arr[i]){
24             liss[max++]=arr[i];
25             continue;
26         }
27         liss[index]=arr[i];
28     }
29     return max;
30 }
31 int main(){
32     int n;
33     cin>>n;
34     for(int i=0;i<n;i++){
35         cin>>arr[i];
36     }
37     ll ans=lis(n);
38     printf("%lld\n",ans);
39     return 0;
40 }

2、带路径模板

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstdlib>
 5 #include<iostream>
 6 using namespace std;
 7 typedef long long ll;
 8 int arr[50002],liss[50002],pre[50002],res[50002];
 9 int find1(int i,int l,int r){
10     int mid;
11     while(l<r){
12         mid=(l+r)>>1;
13         if(arr[liss[mid]]>arr[i]) r=mid;
14         else l=mid+1;
15     }
16     return r;
17 }
18 int lis(int len){
19     int max=1;
20     liss[0]=0;
21     for(int i=0;i<len;i++){
22         int index=find1(i,0, max-1);
23         if(index==0&&arr[liss[index]]>=arr[i]){
24             liss[index]=i;
25             continue;
26         }//增加这条语句主要是pre的影响，不需要路径的话，完全可以去掉。
27         if(index==max-1&&arr[liss[index]]<arr[i]){
28             liss[max++]=i;
29             pre[i]=liss[index];
30             continue;
31         }
32         liss[index]=i;
33         pre[i]=liss[index-1];
34     }
35
36     int k=liss[max-1],t=max-1;
37     while(pre[k]!=k){
38         res[t--]=arr[k];
39         k=pre[k];
40     }
41     res[t]=arr[k];
42     return max;
43 }
44 int main(){
45     int n;
46     cin>>n;
47     for(int i=0;i<n+2;i++){
48         pre[i]=i;
49     }
50     for(int i=0;i<n;i++){
51         cin>>arr[i];
52     }
53     ll ans=lis(n);
54     printf("%lld\n",ans);
55     for(int i=0;i<ans;i++){
56         printf("%d ",res[i]);
57     }
58     printf("\n");
59 }