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作者：伊藤清
当我得知苏联伟大的数学家，84岁的 Andreyii Nikolaevich Kolmogorov 教授于1987年10月20日离开人世时，我感到像是失去了支柱那样悲哀与孤寂。在我还是学生时（1937年）读了他的名著《概率论的基本概念》之后，便立志钻研概率论，并持续了50年之久。对于我来说，Kolmogorov 就是我的数学基础。
我与 Kolmogorov 教授仅会过 3 次面。第一次是1962年国际数学家会议 (Stockholm) 时，开幕式前我在大厅里漫步。当听见「Ito ? Kolmogorov.」的亲切的招呼声时，我又惊又喜。他用德语问到「你多大年龄？」我答道：「Seiben und vierzig.」他再问：「DreiBig?」（三十几？）大概日本人都显得年轻，我也许被看得年轻了10岁。又过了二三日，H. Cramer 教授（全瑞典的大学校长 (Chancelor)，概率论、解析数论的专家）在家里举行了晚餐会，招待出席会议的大约10名有关概率方面的学者。Kolmogorov, J.L. Doob 与我都在其中。
第二次是1978年，在参加了国际数学家大会 (Helsinki) 之后，又出席了概率统计国际学术讨论会 (Vilnius, Lihtuania, USSR)，回国途中，路经莫斯科时，Kolmogorov 招待 Varadhan (NYU)、 Prokhorov（苏联科学院）和我在克里姆林宫旁的一座高雅的餐厅吃了午餐。当时已听说 Kolomogorov 对高中的数学教育很热心，招收了一些优秀的学生，亲自开课教授。我便询问了其内容，他举例说：比如向学生展示简单的向量场（速度场）的图，并要求他们画出积分曲线（轨）；又如让学生考虑具体的分枝过程的问题等等，以培养学生的数学直观能力。
第三次是在 Tbilisi (Georgia, USSR, 1983) 召开的日苏概率统计学术讨论会上。当时，仅管他的健康状况不大好，仍然作了讲演，并在宴会上努力创造活跃的气氛。显然年轻的一代是很崇敬他的。
Kolmogorov 在数学的几乎所有领域中，都提出了独创的思想，导入了崭新的方法，他的业绩是非常辉煌的。然而，我见到他时给我留下的印象却是不修边幅的温厚的君子形象，这也许正是伟大数学家的形象吧。
Kolmogorov 的论文我自认为基本上都好好地读过了，在撰写本稿时，我又对他整个的研究成果做了一个直接或间接的调查。对其研究的广度和深度不得不叹服。由于时间和篇幅的限制，我仅向读者谈一些并不全面的自己的感受。
吉泽尚明（京都大学）、池田信行（大阪大学）二位教授及京都大学数理研图书室的各位帮助我查找了资料，在此我表示衷心的感谢。
Kolmogorov 简历
根据 B. V. Gnedenko 在 Kolmogorov 70 寿辰时的讲演， Kolmogorov 于1903年诞生于俄罗斯的村镇（现在为市）Tambov。父亲是农学家，母亲在生下 Kolmogorov 后不久便离开人世，他是被叔母等抚养长大的。1920年（17岁）进入莫斯科大学之前，他当过列车上的乘务员，业余时间写了关于牛顿力学定律的论文，论文的原稿未能保存下来，但我们可以想象他是多么早熟的天才。那时，俄国革命（1917）已经爆发，我很想知道他当时所处的环境，很遗憾没有有关的资料。
1920年进入莫斯科大学，最初对俄国的历史感兴趣，还调查了15～16世纪的诺布哥罗德的财产登记。以后参加了 V.V. Stepanov 的傅里叶级数（三角级数）讨论班，并于1922年（19岁）写出了关于傅里叶级数，解析集合的著名论文，震动了学术界。其后犹如天马行空，连续发表了许多重要的研究成果。1925年莫斯科大学毕业，1931年当大学教授，1933年任大学数学研究所所长，1937年成为苏联科学院院士。至1987年逝世止，对数学的研究教育作出了很多重大的贡献。
Kolmogorov 的数学观
了解 Kolmogorov 的数学观的最好的资料，大概要属苏联大百科辞典中他所执笔的「数学」部分吧。已经出了英文版，我读了英文版，与原文（俄语）比较，英文版稍微缩略了一些，在这篇文章中，他先阐述了其数学观，然后通述了自古至今的数学史，并且从他的数学观出发，详细描述了这个历史的各个阶段，它可以说是为数学家、科学家们所写的数学史。我饶有兴趣地一口气读完了全篇。要说明 Kolmogorov 的数学观，不仅应当看这篇文章的开始部分，也应当参照占该文大部分的数学史，但由于篇幅及时问的限制，我仅将文章的开始部分简要介绍如下。
根据 Kolmogorov的观点，数学是现实世界中的数量关系与空间形式的科学。
(1)因此数学的研究对像是产生于现实中的。然而作为数学加以研究时，必须离开现实的素材（数学的抽象性）。
(2)但是，数学的抽象性并不意味着完全脱离于现实素材。需要用数学加以研究的数量关系与空间形式的种类，应科学技术的要求，是不断增加着的。因此上面定义的数学内容在不断地得到丰富。
数学与诸科学：数学的应用是多种多样的，从原理上讲，数学方法的应用范围是无边际的，即物质的所有类型的运动都可以用数学加以研究。但是数学方法的作用与意义在不同情况下是不同的。用单一的模式来包罗现象的所有侧面是不可能的。认识具体的东西（现象）的过程中总是具有下面两个互相缠绕的倾向。
(1)仅将研究对象（现象）的形式分离出来，对这个形式作逻辑上的解析。
(2)弄清与已经确立的形式所不相符的「现象的方面」，向具有更多的可塑性，更能完整地包含「现象」的新的形式转化。
如果在研究的过程中必须时刻考察现象的本质上新的侧面，因而研究中的困难主要体现在上面的(2)的话。这样的现象的研究（如生物学、经济学、人文科学等）中，数学方法就不是主要的。在这种时候，对现象的所有方面的辨证分析会由于数学形式反而变得含糊。
与此相反，如果用比较简单的、稳定的某种形式便可以把握研究对象（现象），并且在这个形式的范围内产生了在数学上需要加以特殊研究（特别是需要创造新的记号和计算法）的困难而复杂的问题时，这种现象的研究（如物理学）则在数学方法的支配圈内。
做了这些一般性的论述后，首先详细说明了行星运动完全是在数学方法的支配圈内，在这里数学形式是对于有限质点系的牛顿的常微分方程。
从力学转向物理学，数学方法的作用几乎不减，但应用中的困难明显增加。在物理学中，几乎没有不必使用高级数学技术（如偏微分方程理论、泛函分析）的领域。但是研究中出现的困难往往不在于数学理论的推导过程中，而在于「为运用数学所作的假设的选择」和「由数学手段所得结果的解释」中。
数学方法具有包含从考察的某个水平开始，向更高的、本质上新的水平转移这样一个过程的能力。这种例子在物理理论中是可以见到许多的：扩散现象便是一个古典的好例子。从扩散的宏观理论（拋物型偏微分方程）向更高的微观水平的理论（用独立的随机过程来描述溶液中粒子随机运动的统计力学）转移，从后者出发运用大数定律，可导出把握前者的微分方程， Kolmogorov 对此种情形作了更加详细具体的说明。
同物理学相比，在生物学中数学更处于从属地位。在经济学和人文科学中的，这种情况就更加突出了，在生物学和杜会科学中数学方法的应用主要是以控制论的形式进行的。在这些学科中，数学的重要性以辅助科学──数理统计学的形式保留几分，但在杜会现象的精确分析中，各个历史阶段中的本质性差异的侧面是占主导地位的，因而数学方法常常要靠边站。
数学与技术、算术、初等几何的原理，正像古代数学史所表明的那样，是从日常生活的需要中产生的。其后的新的数学方法或思想也是受到天文学、力学、物理学等满足实际需要的学科的影响而产生的，但是数学与技术（工程学）的直接联系至今常常是通过已有的数学理论在技术中的应用这样一个形式来实现的。当然还须指出，根据技术上的要求而直接产生新数学的一般理论这种例子也是有的〔例如，最小二乘法（测地），操作数法（电气工程）。作为概率论的新分支的信息论（通信工程），数理逻辑学的新分支，微分方程的近似解法，数值解法等〕。
高度的数学理论使得计算器科学的方法急速地发展起来。而计算器科学在解决原子能利用，宇宙开发中的问题等大量的实际问题时扮演了主要的角色。
Kolmnogorov 在后面的数学史的叙述中也总是注重数学与其它诸学科的关联，同时也高度评价了由于数学内部的要求而推动的纯数学的发展。例如，在实际问题的应用这方面，古代希腊要落后于巴比伦，然而在数学的理论方面，希腊远远领先于巴比伦。他尤其赞颂了「存在无限多个素数」、「等腰直角三角形的斜边与另一边之间不存在公约数」等伟大发现。按着他详细说明了实际主义的巴比伦数学与理想主义的希腊数学是如何经过中世纪的阿拉伯数学，发展至欧洲的近代数学的过程，非常有趣。我从这个历史中学到了许多史实。例如，我以前知道变换群这个概念是在18世纪后半叶至19世纪初，由 Lagrange（分析）、 Galois（方程式论）等有效地使用了的。但我还想知道现在大学里讲授的（抽象）群的定义到底是由谁给出的。根据 Kolmogorov 的数学史，这个定义是由 A. Cayley 在19世纪中叶所给出的。
总之，Kolmogorov 的数学观是由他的数学上的独创性，对于数学应用所抱有的激情及对于数学发展的历史所具有的洞察。这几个方面所组成的，难以用一言来概之。如果一定要用一句话来总结，也许可以这样说： Kolmogorov把数学看成为可以无限制地成长的「生物体」。
Kolmogorov 的数学业绩
Kolmogorov 写了上百篇论文，从中可以看出其特点是：「广泛的研究领域」、「引入新观点的独创性」及「明快的叙述」，其研究领域包括实变函数论、数学基础论、拓扑空间论、泛函分析、概率论、动态系统、统计力学、数理统计、信息论等多个分支。下面结合背景概述一下这些研究。
实变函数论
Kolmogorov 在莫斯科大学读书时参加了 Stepanov 的傅里叶级数讨论班，从那时（1921）开始，他对数学产生了与趣。当时，主要研究连续函数的微积分学正在向研究可测函数的实变函数论发展。这一新的数学领域受到了极大的关注。Kolmogorov 于1922年（19岁）时，通过引入 集合演算，证明瞭包含「Borel 不可测解析集合的存在定理 (Suslin)」的新的定理。同年，他还成功地研究了「（形式上）傅里叶级数在几乎所有点上（以后又研究了所有点上）发散的上的可积函数的构成」。这些结果作为论文分别发表在《Mat. Sbornik》，1925及《Fund. Math.》，1923 (Doklady, 1925)。关于傅里叶级数、直交函数的展开，他也写了几篇论文。他还尝试了 Lebesgue 积分的推广，涉及了 Denjoy 积分的研究。这些大体上是1930年以前的研究工作。
概率论基础
Kolmogorov 在概率论力面的一大功绩是用测度论的语言将概率论确立为现代数学的一个领域。以往对偶然事件、偶然量未加定义而使用。Kolmogorov 看出了概率与测度的同构型，在概率测度空间 (Ω,F，P) 上，分别将偶然事件定义为Ω的 F-可测子集，偶然事件的概率定义为这个子集的 P-测度，偶然量定义为Ω上的 F-可测函数，其平均值由积分定义。这样，概率论的理论展开就变得明确而容易了。
如此将概率作为测度来把握的方法，对于特殊问题 E. Borel（上例），N. Wiener（布朗运动）已经做过尝试。但用这个方法来对待所有问题的是 Kolmogorov 的《概率论的基本概念》。而 Kolmogorov 证明瞭在这种情况下有目的地构造出 P 的定理，这就是著名的 Kolmogorov 的扩张定理。
过去作为具体的测度一般仅考虑 Lebesgue-Stieltjes 测度和 Lie 群上的不变测度。由于 Kolmogorov 的测度论式的概率论，新型的概率测度及有关的新问题在对偶然现象的数学研究中不断地产生了出来。
概率论
Kolmogorov 受到 A.Y.Khinchin 的影响， 1925年前后开始研究独立随机变量的级数的收敛问题及发散时的阶数。按着研究了 Wiener 过程，在这些研究中，Kolmogorov 引入了几个新的思想和方法，Kolmogorov 0-1 律、Kolmogorov 不等式，Khinchin-Kolmogorov 三级数定理，Kolmogorov 强大数律，Kolmogorov 判别法，Kolmogorov 谱（湍流）等是特别著名的。1939年他还将弱平稳过程的内插、外推问题归结为傅里叶分析的问题而一举解决。
Kolmogorov 还将动态系统分为决定论的（古典的）动态系统和概率论的动态系统（马尔可夫过程），描述前者轨道的是常微分方程，而决定后者转移概率的是拋物型偏微分方程，即 Kolmogorov 引入的向前方程序和向后方程式（〈关于概率论中的分析方法〉， Math. Ann. 1931）。在那以前，概率论（泛函分析）也开始得到应用，概率论的内容变得极其丰富起来。 50年代的马尔可夫过程的显著发展的源泉就是Kolmogorov 的这个研究。我从 Kolmogorov 的这篇论文的序言中的思想得到启发，引入了表现马尔可夫过程的轨道的随机微分方程式。这也决定了我以后的研究的方向。Kolmogorov的「基本概念」和「分析方法」。对我来说可谓至宝。
数理统计
在日本很遗憾概率论与数理统计之间的交流不太活跃，而 Kolmogorov 等苏联的概率论专家是非常重视二者的关系的。概率论是以概率空间为基础的，在应用于现实问题的时候，需要考虑若干概率空间，然后决定哪个是最适合于实际问题的概率模式。这个决定可以说是数理统计学的一个目的。Kolmogorov 也写了不少数理统计学的论文。在非参数检验法中用到的 Kolmogorov-Smirnov 定理是很有名的。
数学基础论
Kolmogorov 从年轻时起，就对数学基础论，特别是 Brouwer 的直观主义（有限立场）有着浓厚的兴趣（例如《Math. Zeit.》, 35 (1932), 58-65），关于算法也作了研究。
拓朴空间论函数空间论
Kolmogorov 和 J.W. Alexander 共同开创了上同调理论，这是众所周知的。Kolmogorov 还是同时具有拓扑结构和代数结构的空间理论（线性拓扑空间、拓扑环）研究的开创者之一。
他还研究了全有界的距离空间 E 的ε-网中最小可能的点数 当 时的性状，作为 E 的特性量引入了ε-熵、ε-容量的概念。将其应用于E为连续函数空间的子空间的场合〔与 V. M. Tikhomirov 合着， Uspehi (1959)〕。这是泛函分析方面的崭新的观点。
动态系统
Kolmogorov 对于古典动态系统有着很深的知识，他写过几篇重要的论文（《Proc. ICM》, 1954, Amsterdam, 1, 315-333）。他还研究了一般的动态系统（单参数保测变换群?流），引入了「Kolmogorov 流」的概念。作为流的特性量，大家知道有谱型 (Hellinger-Hahn)。 Kolmogorov 又引入了熵这个新的特性量（《Dokl.》, 124 (1959), 754-755）。毫无疑问，这也为新的遍历理论开辟了道路。
在其它方面，Kolmogorov 也作了许多有名的研究工作。例如 Hilbert 的第13问题的否定性解决（参看岩波《数学辞典》的 Hilbert 一项），随机数表的考察（Sankhya, A25, 1963），关于信息论的研究等。
Kolmogorov 的数学教育观
Kolmogorov 在莫斯科大学培养了许多数学家，其中不少人已成为国际上的著名学者，这一点广为人知。他还热心于高中的数学教育，自己亲自写讲义，对数学教育所应有的姿态作了深刻的思考。Kolmogorov 60岁寿辰时（1963），P.S. Alexandrov 和 B.V. Gnedenko 作了题为「教育家 Kolmogoro」的讲演。下面参考此文讲述一下 Kolmogorov 的数学教育论。苏联的教育制度与日本稍有不同，为小学（7～10岁）、初中（11～14岁）、高中（15～17岁）、大学（18岁～20岁），在大学里数学专业与物理专业在一个系（称作数学物理系）里。高中相当于日本的高中2年级到大学1年级，大学相当于日本的大学2年级至硕士研究生。有些类似于日本的旧制高中和大学，大学毕业时要写论文获取学位，相当于日本的硕士学位。博士学位授给大学毕业后写过许多创作论文的特别优秀的学者。
Kolmogorov 认为，有些家长和教师企图从10岁～12岁左右的学生中挖掘有数学才能的孩子，这样做会害了孩子，但是孩子到了14～16岁时，情况就不一样了。他们对数学物理的兴趣已很清楚地表现了出来，根据 Kolmogorov 在高中教授数学物理的经验，大约有一半的学生认为数学物理对自己仅有很小的作用。对于这些学生应该安排简单内容的课程。这样，另一半的学生（并不一定他们都要搞数学物理专业）的数学教育就可以更有效地进行。
高中时将数学物理系、工程系、生物农医系、杜会经济系等各专业分开为好。各系的主要学科的教授时间可稍稍增加一点（如数学1小时、物理1小时等），即使这样效果也是非常显著的。各专业系的教育可以使学生增强目的意识，而不至于影响有宽度的一般教育。革命初期提出的「统一劳动学校」的口号，并不否定个人能力的开发与特殊训练，而只是意味着废除阶级意识的学校，消除贫苦人面前的障碍。
数学需要特别的才能这一说法在很多情况下是过于夸张了。数学是特别难的科目这一印象可能是产生于笨拙的、极其教条的教学方法。如果有好的教师和好的教科书，正常的平均程度的人的能力足以消化高中数学，并进一步理解微积分的初步知识。
然而，高中生在选择数学作为上大学的专业时，自然应测验一下自己对数学的适应性。实际上，在理解（数学的）推论、解决问题、或作出新的发现上，其速度、容易程度和成功度是因人而异的。在数学专业教育中，应选择在数学领域出成就的可能性大的青年人。
什么是对于数学的适应性呢？Kolmogorov 总结为以下三点：
(1)算法能力：即对于复杂式子作高明的变形，对于用标准方法解不了的方程式作巧妙的解决的能力（仅记住许多定理、公式是不行的）。
(2)几何学直观：对于抽象的东西，能够在头脑中像画画一样描绘出来并加以思考。
(3)一步一步地作逻辑性推理的能力：例如能够正确地应用数学归纳法。
仅有这些能力，而对研究题目不抱有强烈的兴趣、不作持久不断的研究活动的话，还是起不了什么作用。
在大学的数学教育中，好的教师又是什么样的呢？
(i)讲课高明。如用其它的科学领域的例子来吸引学生。
(ii)以清晰的解释和宽广的数学知识来吸引学生。
(iii)善于作个别指导。清楚每个学生的能力，在其能力范围内安排学习内容，使学生增强自信心。
以上每一条都是有价值的，而理想的教师应属(iii)类型的教师。
对于数学物理系的学生的数学教育，除了常规的课程， Kolmogorov 特别强调了以下两点：
(i)使学生能够把泛函分析作为日常工具那样运用自如。
(ii)重视 practical work。
我最初对这个意思不大明白，最近见到一位曾经在莫斯科大学接受过 Kolmogorov 的指导的先生，便询问了一下，其意思可能是这样的，例如对于微分方程式给出具体的系数和边界条件（每个学生不同），然后让学生考察方程式的解的性质。
学生在开始搞研究的时候，首先必须使其树立起「自己能够搞出点名堂」的自信心。因而在布置研究课题时，不但要考虑「这样题目的重要性」，还应考虑「这个研究是否能提高学生的水平」，「是否在学生的能力范围内，而且需要作最大程度的努力才能解决的问题」。
以上就是 Kolmogorov 的数学教育论的概略。Kolmogorov 不仅是伟大的数学家，也是伟大的教育家，也许说是伟大的思想家更合适。