Mertens

题意：

求解$\sum_{i=a}^b{\mu(i)}$。

解法：

由$(\mu * I)(n) = e(n)$ 得 $\sum_{d|n}{\mu(d)} = [n=1]$ 得 $\mu(n) = \sum_{d|n,d<n}{\mu(d)}$

从而有$$\sum_{i=1}^n{\mu(i)} = 1 - \sum_{i=1}^n{ \sum_{d|i,d<i}{\mu(d)} }$$

　　　　$$=1-\sum_{t=2}^n{ \sum_{d=1}^{[\frac{n}{t}]}{\mu(d)} }$$

记$S(n) = \sum_{i=1}^n{\mu(i)}$

从而有$S(n) = \sum_{t=2}^n{S([\frac{n}{t}])}$

考虑分块优化此式，产生$O(\sqrt n)$的时间复杂度，当n小于等于$n^{0.6667}$时直接应用线性筛计算。

分析得会产生$O(n^{0.667})$个n，从而应用map，递归计算即可。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <ctime>
 5 #include <map>
 6
 7 #define LL long long
 8 #define LIM 5000000
 9
10 using namespace std;
11
12 int tot,prime[LIM+10];
13 LL u[LIM+10];
14 bool v[LIM+10];
15 map<LL,LL> ansv;
16
17 LL S(LL n)
18 {
19     if(n<=LIM) return u[n];
20     if(ansv.count(n)) return ansv[n];
21     LL j;
22     LL ans=1;
23     for(LL i=2;i<=n;i=j+1)
24     {
25         j=n/(n/i);
26         ans -= (j-i+1LL) * S(n/i);
27     }
28     ansv[n]=ans;
29     return ans;
30 }
31
32 int main()
33 {
34 //    freopen("test.txt","r",stdin);
35     u[1]=1;
36     for(int i=2;i<=LIM;i++)
37     {
38         if(!v[i])
39         {
40             prime[++tot]=i;
41             u[i]=-1;
42         }
43         for(int j=1;i*prime[j]<=LIM;j++)
44         {
45             v[i*prime[j]]=1;
46             u[i*prime[j]]=u[i]*u[prime[j]];
47             if(i%prime[j]==0)
48             {
49                 u[i*prime[j]]=0;
50                 break;
51             }
52         }
53     }
54     for(int i=2;i<=LIM;i++) u[i]+=u[i-1];
55     LL a,b;
56     cin >> a >> b;
57     cout << S(b)-S(a-1) << endl;
58     return 0;
59 }