bzoj4002[JLOI2015]有意义的字符串

bzoj4002[JLOI2015]有意义的字符串

题意：

求((b+√d)/2)^n的整数部分。b*b<d<10^18，n<10^18，d%4==1，b*b%4==1，模数约等于7*10^18

题解：

神题。由一些性质可以得出一个数列:An=bAn-1+(d-b*b)/4*An-2，且这个数列的通项公式为An=((b+√d)/2)^n+((b-√d)/2)^n，且由题目条件得(d-b*b)/4为正整数，故可以用矩阵乘法求出An，由于(b-√d)/2∈(-1,0]，故答案为(An)-1当且仅当n为偶数且b*b!=d。矩阵递推式：

An-1 An-2         b                  1            An       An-1

*                             =

0      0              (d-b*b)/4       0           0          0

反思：蒟蒻不知道矩乘不满足交换律，调了很久样例。同时由于模数太大，除了需要用unsigned long long外，乘法还要用快速乘（就是用快速幂的方法计算乘法）以防溢出。

代码：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <algorithm>
 4 #define ll unsigned long long
 5 #define inc(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
 6 #define mod 7528443412579576937
 7 using namespace std;
 8
 9 struct M{
10     ll a[5][5];
11     M(){inc(i,0,1)inc(j,0,1)a[i][j]=0;}
12 };
13 ll b,d,n; M st,ans;
14 ll cheng(ll a,ll b){
15     if(b==0)return 0; if(b==1)return a; ll c=cheng(a,b>>1)%mod;
16     if(b&1)return ((c+c)%mod+a)%mod;else return (c+c)%mod;
17 }
18 M mul(M a,M b){
19     M c; inc(i,0,1)inc(j,0,1)inc(k,0,1)
20         c.a[i][j]=(c.a[i][j]+cheng(a.a[i][k],b.a[k][j]))%mod;
21     return c;
22 }
23 M pow(M a,ll b){
24     if(b==1)return a; M c=pow(a,b>>1); if(b&1)return mul(mul(c,c),a);else return mul(c,c);
25 }
26 int main(){
27     scanf("%lld%lld%lld",&b,&d,&n);
28     if(n==0){printf("1"); return 0;}
29     st.a[0][0]=b%mod; st.a[0][1]=2;
30     if(n==1)ans=st;else{
31         ans.a[0][0]=b%mod; ans.a[0][1]=1; ans.a[1][0]=(d-b*b)/4%mod;
32         ans=pow(ans,n-1); ans=mul(st,ans);
33     }
34     if(b*b!=d&&!(n&1))printf("%lld",(ans.a[0][0]+mod-1)%mod);else printf("%lld",ans.a[0][0]);
35     return 0;
36 }

20160710