[凸包]Triangles

https://nanti.jisuanke.com/t/15429

题目大意：给出平面内$n$个整数坐标点，保证无三点共线。可以进行若干次连线，每次选择一个点对连接线段，但是任意两条线段都不得在给定的$n$个点之外有交点。问连线完成后，最多能构造出多少个三角形。

解题关键：

小于三个点的情况答案为零。考虑三个点的情况，由于三点不共线，必然构成一个三角形。现加入第四个点，若其在原三角形外部，则称其为外点，可以新构造$1$个三角形；若其在原三角形内部，则称其为内点，可以新构造$3$个三角形。故要尽可能让更多的点成为内点。假设这$n$个点的凸包上有$m$个点，这$m$个点必然只能是外点，将凸包剖分成$m - 2$个三角形后，剩余$n - m$个点均为内点，答案即为$3n - 2m - 2$。

其次，凸包模板。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 struct point{
 5     ll x,y;
 6 }s[1002],p[1002];
 7 int n,top;
 8 double dis(point a,point b){
 9     return sqrt((b.x-a.x)*(b.x-a.x)+(b.y-a.y)*(b.y-a.y));
10 }
11 double cross(point a,point b,point c,point d){
12     return (b.x-a.x)*(d.y-c.y)-(b.y-a.y)*(d.x-c.x);
13 }
14 bool cmp(point a,point b){
15     double z=cross(p[0],a,p[0],b);
16     return z?z>0:dis(p[0],a)<dis(p[0],b);//这里不确定
17 }
18 void findpoint(){
19     for(int i=1;i<n;i++){
20         if(p[i].y<p[0].y||(p[i].y==p[0].y&&p[i].x<p[0].x)) swap(p[i],p[0]);
21     }
22 }
23 void scanner(){
24     findpoint();
25     sort(p+1,p+n,cmp);
26     s[0]=p[0],s[1]=p[1],top=2;
27     for(int i=2;i<n;i++){
28         while(cross(s[top-2],s[top-1],s[top-1],p[i])<0) top--;
29         s[top++]=p[i];
30     }
31 }
32 int main(){
33     int t;
34     cin>>t;
35     while(t--){
36         memset(p,0,sizeof p);
37         memset(s,0,sizeof s);
38         cin>>n;
39         for(int i=0;i<n;i++){
40             cin>>p[i].x>>p[i].y;
41         }
42         scanner();
43         if(n<3){printf("0\n");continue;}
44         printf("%lld\n",1ll*3*n-2*top-2);
45     }
46 }