lucas定理的证明

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看一下这个冯志刚的初等数论证明

对最后的补充

(1+x)的a0次方展开式中每一项的形式能够写成C（a0。b0）x的b0次方的形式。每一项是相加的

同理可得

(1+xp)的a1次方展开式中的每一项的形式能够写成C（a1，b1）(x的P次方)的b1次方的形式。

每一项是相加的

....

由于(1+x)的a0次方和(1+x的p次方)的a1次方是相乘的形式。所以能够抽象为一个多项式（x1+x2+..）*（y1+y2+y3++...）*(z1+z2+z3+....)*...把括号去掉之后的每一项都有x有y有z即每一项的形式都是（x*y*z*....）+....

调用上面的形式把同余恒等式的右边写出来的形式是C（a0，b0）x的b0次方*C（a1。b1）(x的P次方)的b1次方

....再次能够化为C（a0。b0）*C（a1。b1）*...*x的（b0+b1*P+b2*P的平方+b3*p的3次方....)。x的指数刚好是b的p进制的形式由于b0。b1,b2...的序列是唯一的，所以有唯一的序列使得又有上面的f（x）同余g(x)则f(ai)同余g(bi)所以同余是左边C（a,b）x的b和同余式右边的C(a0,b0)*C(a1,b1)*.....*x的（b=b0+b1*P+b2*P的平方+b3*p的3次方....）的次方的系数应该是同余的即结论成立

时间： 2024-07-30 06:27:03

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【学习总结】数学-lucas定理

定义: 数论Lucas定理是用来求 C(mn)%p的值, p是素数. 描述: lucas(n,m,p)=lucas(n/p,m/p,p)?C(m%pn%p) lucas(n,0,p)=1 证明: 设p为素数,A,B为正整数,并且有(即A,B的p进制情况): A=akpk+ak?1pk?1+-+a1p1+a0 B=bkpk+bk?1pk?1+-+b1p1+b0 因为C(jp)=C(j?1p?1)?pj=0 (含有因子p) 所以(1+x)t(modp)=(1+xt)(modp) (中间展开项均含有C

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