调和级数某个部分和可以为整数么？

问题：证明

\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\notin\mathbb N,\forall n\geq2.\]

证明    首先根据Chebyshev定理,在$(\frac{n}{2},n]$上必存在素数$p$,那么显然$p\mid n!$且

\[p\mid\frac{n!}{k},k=1,2,\cdots,p-1,p+1,\cdots,n\]

但是$p\nmid\frac{n!}{p}$.而若要$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$为整数,即

\[\frac{1}{n!}\sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{k}\]

为整数,即$n!\mid\sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{k}$,那么

\[p\mid\sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{k}\]

显然这时不可能的!

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