作者：桂。
时间：2017-03-15 21:12:18
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| 本文为拟合系列中的一部分，主要介绍拉普拉斯曲线 、瑞利曲线、对数正态曲线的拟合，并给出理论推导。 |
一、理论分析
A-拉普拉斯（Laplace）
对于拉普拉斯分布：
$f(x) = \frac{1}{{2b}}{e^{ - \frac{{\left| {x - \mu } \right|}}{b}}}$
假设数据点{$x_i$,$y_i$}（$i = 1,2,3,...N$）符合Laplace分布曲线，对其进行拟合（曲线拟合不同于分布拟合，需要乘以幅度$A$）,给出准则函数：
对准则函数$J_0$求解即可实现参数估计。
由于求导比较复杂（可以借助Mathmatica/Maple），因此这里换一个思路：如果$e^x$—>$y$，则$x$—>$lny$，重新定义准则函数：
拉普拉斯仍然是对称曲线，因此用统计均值代替$\mu$的均值估计：
此时将$|x_i-\mu|$看作新的变量$t_i$，准则函数$J_1$即转化为{$t_i$,$ln(y_i)$}的一次线性拟合。后续求参就方便了。
B-瑞利(Rayleigh)
对于瑞利分布：
$f(x) = \frac{x}{{{\sigma ^2}}}{e^{ - \frac{{{x^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}$
给出准则函数：
只涉及一个参数$\sigma$，同样是利用对数转化，进而求取参数估计。
C-对数正态（Log-normal）
对数正态就是正态分布的变形，即$lnx$—>$x$，求参过程完全一致，可以参考：正态曲线拟合。
二、拟合优化
对于求取对数的估计准则，都会有误差在0处较大的问题。关于优化的小trick,在分析正态分布曲线拟合时，已经给出详细理论，此处不再展开。